図形と方程式の答え合わせ

質問

全統模試で課題としてもう一回やってこいとなったんですけど、
xy平面上に遠C１：x^2+y^2=3がある。また、点（０，２）を通るC1の接線のうち、傾きが負であるものをｌとする、さらに、中心が放物線y=1/3x^2+2上にあり、半径がC1の半径に等しく、かつｌに接する円を、中心のx座標が小さいものから順にC2,C3とする。
（１）ｌの方程式
（２）C2とC3の方程式
（３）３つの円C1,C2,C3の中心をその内部に含み、かつ、この３つの円のいずれにも接する円をKとする。Kの方程式を求めよ

（１）と（２）は絶対なのでお願いします

回答No.2

mister_moonlight

間違いではないが、分かりにくい回答を書いてるね。

＞３）３つの円C1,C2,C3の中心をその内部に含み、かつ、この３つの円のいずれにも接する円をKとする。Kの方程式を求めよ

3つの円の中心をその内部に含んで接しているから、3つの円とKは“外接”ではなくて、“内接”している。
従って、(例えば)C1とKの中心距離が、その2つの円の半径の差(絶対値をつける事を忘れずに)に等しい。
Kの中心を(α、β)とし、その半径をr r＞0　とすると、｜r－√3｜＝√(α＾2＋β＾2)としてやればよい。
“3つの円の中心をその内部に含むから”という条件は、この場合なら　α＾2＋β＾2＜r＾2　で表す事ができる。

後は、単なる計算問題。

円と直線が接する(つまり、接線の時)時は、判別式でも良いが、円の中心と直線との距離＝円の半径　と考えて、円の中心と直線との距離の公式を使うのが、計算が簡単だから、その分　計算ミスも防げる。

回答No.1

gohtraw

（１）
C1の接線の式をｙ＝ａｘ＋ｂとおいて、
（０，２）を通ることからｂ＝２
また、Ｃ１に接することからこの接線と原点の距離は√３になるので、点と直線の距離の公式を使い、ａが負になる解を選んで下さい。

（２）
求める円の中心の座標を（ｐ、ｑ）とおいて、
この中心が与えられた放物線上にあることからｑ＝ｐ＾２／３＋２
また、ｌに接することから、この中心とｌの距離は√３になるので、点と直線の距離の公式を使うとｐ、ｑについて二つの式ができるのでそれらを連立させて解いて下さい。

（３）
ＫとＣ１の接点とＫの中心を結ぶ直線はＣ１の中心を通ります。Ｃ２，Ｃ３についても同じことが言えます。ということは、Ｋの中心はＣ１、Ｃ２、Ｃ３の三つの円の中心から等距離にあります。このことから式を立てるとＫの中心座標が判ります。あとはＫの中心とＣ１の中心の距離に√３（Ｃ１の半径）を加えたものがＫの半径になります。