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平行でない３力のつり合い
- 高校物理の問題で、滑らかな鉛直壁の前方６Ｌの所から、長さ１０Ｌ、質量Ｍの一様なはしごが立てかけてあり、床とはしごの静止摩擦係数は１／２であり、重力加速度をｇとする場合、質量５Ｍの人がはしごの下端Ｂから２Ｌの距離にいるとき、上端Ａと下端Ｂで働く抗力の作用線の交点Ｐの位置を求める方法について教えてください。
- はしごと人、全体の重心ＧのＢからの距離をＸ_GとするとＸ_G＝５L／２であり、全体の重力６MGの作用線と上端Aの抗力Rの作用線の交点が求める点Pである。Pの周りの力のモーメントのつり合いを考えると、６MGや上端Aの抗力Rは腕の長さがないからモーメントはいずれも０であり、すると、残りのBでの抗力fのモーメントも０でなくてはならないため、ｆの作用線もPを通ることになる。
- 問題集の答えには「Bでの抗力を計算する必要はない。」と書いてありますが、別解としてBでの抗力を計算して解く方法も存在しますか？もしある場合、その具体的な解法を教えてください。
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＞この解法で解いてみたらｆ＝３MG／４となりましたが 求まったｆ＝(3/4)Ｍｇで作図で考えたＰの位置と合いましたか。 ｆはＢ点での抗力としていますね。ｆはＢＰの方向を向いているはずです。 ｆの中身はＢ点での静止摩擦力（Ｆとします）と垂直抗力（Ｎとします）です。ｆ^２＝Ｆ^２＋Ｎ^２ですからｆ＞Ｆ，ｆ＞Ｎのはずですね。 Ｎ＝６Ｍｇですからｆ＞６Ｍｇのはずです。ｆ＝３Ｍｇ／４はおかしいですね。 静止摩擦力はＡ点での垂直抗力Ｒに等しいです。 このＲはいくらになりましたか。 （このＲはＢ点の周りのモーメントを考えて出てきます。） Ｎ：Ｆ＝８Ｌ：３Ｌ／２ になるはずです。 「３つの力が１点に集まる」ということを使えばこの比が簡単に求められます。 普通の剛体のつりあいの計算では上下、左右の力のつりあい、１点の周りのモーメントのつりあいを使って出しますからこの比はＦとＮが求まるまで分かりません。 ＞ⅰ．ｆ＝３MG／４が出てくる過程 ＞ⅱ．求めた静止摩擦力が静止最大摩擦力よりも小さいという確認 ＞ⅲ．作用線の作図の図 ＞上端Ａと下端Ｂで働く抗力の作用線の交点Ｐの位置を図中に示せ。 とありますからＰの座標が必要だと思います。 「高さ８Ｌ，Ｂから水平に３Ｌ／２（Ａから水平に９Ｌ／２）」です。
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- htms42
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＃１です。すみません 間違っていました。 重心の位置は はしごに沿って５Ｌ／２で合っています。 したがってＰの位置はＢから水平に(５／２)(６／１０)Ｌ＝(３／２)Ｌです。Ａからだと水平に(６－３／２)Ｌ＝(９／２)Ｌです。 平行でない３つの力がつりあっている場合、力の作用線は一点で交わります。質点ではなくて剛体の場合にも成り立ちます。この場合、モーメントの計算は不要です。 ただ剛体に働く力の場合はモーメントでやるほうがたいてい、計算が簡単になります。
- htms42
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床Ｂでの抗力（垂直抗力と静止摩擦力の合力） ｆ 壁Ａでの垂直抗力 Ｒ 人とはしごを合わせた全体の重心にかかる重力 Ｗ（＝６Ｍｇ） この３つの力はつりあっているはずだというのは正しいです。 Ｒの向きは水平 Ｗの向きは鉛直真下 交点ＰはＲとＷの交点です。 ＞はしごと人、全体の重心ＧのＢからの距離をＸ_GとするとＸ_G＝５L／２ これはおかしいです。 重心はＢからはしごに沿って（２５／１２）Ｌの所です。これはＢから水平に（２５／１２)×(６／１０）Ｌ＝(５／４)Ｌの所です。 したがってＰの位置はＡからは（６－５／４）Ｌの所だということになります。この場合、はしごと人をあわせた重心の位置がわかっているのであればその後モーメントの計算は不要です。 正直にＢでの抗力ｆを求めても当然出ます。 ｆを延長してＲとの交点を求める事になります。 その場合、求めた静止摩擦力が静止最大摩擦力よりも小さいという確認が必要です。
補足
ご解答ありがとうございます。 ＞＞はしごと人、全体の重心ＧのＢからの距離をＸ_Gとすると ＞Ｘ_G＝５L／２ ＞これはおかしいです。 どうやら説明が不足していたようです。すいません。 実はこの問題前の問題に関連していて 前の問題（３）に （３）いま、このはしごを質量５Mの人が登り始めた。 この人は下端Bからいくらの距離の所まで登れるか。 とあるんです。 ですから、（３）の問題文の内容と 解答でＸ_G＝５L／２としていることを考えると 「質量５Ｍの人がはしごの下端Ｂから２Ｌの距離にいる」という表現は「質量５Ｍの人がはしごの下端Ｂからはしごを２Ｌ登った所にいる」 という風に意味が補足できるので解答に間違いはないはずです。 混乱させるような文を書いてしまい 申し訳ありませんでした。 ＞正直にＢでの抗力ｆを求めても当然出ます。 ＞ｆを延長してＲとの交点を求める事になります。 ＞その場合、求めた静止摩擦力が静止最大摩擦力よりも小さいという ＞確認が必要です。 この解法で解いてみたら ｆ＝３MG／４となりましたが 解答には ⅰ．ｆ＝３MG／４が出てくる過程 ⅱ．求めた静止摩擦力が静止最大摩擦力よりも小さいという確認 ⅲ．作用線の作図の図 の３点が入っていれば正解になるんでしょうか？？ 出来たらご解答いただけるとありがたいです。
お礼
ご解答ありがとうございます。 おかげで理解できました！