- ベストアンサー
極限
BookerLの回答
- BookerL
- ベストアンサー率52% (599/1132)
ド・ロピタルの定理でどうでしょう。 f(x)=e^x - cos x 、 g(x)=x として、 f'(x)=e^x + sin x 、 g'(x)=1 なので、 lim[x→0]f(x)/g(x) = lim[x→0]f'(x)/g'(x) = lim[x→0](e^x + sin x) = 1 高校レベルでは証明なしに使ってはいけない、ということはいわれますが。 http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lopital.htm http://ufcpp.net/study/misc/lopital.html
関連するQ&A
- 極限値について
極限値についておしえてください。 (1)lim(n→∞)(√(n^2+n+1)-n) =lim((n^2+n+1)-n^2)/√(n^2+n+1)+n) =lim n+1/(√(n^2+n+1)+n) ここまでしかわかりません。 (2)lim(x→0) tanx-sinx/x^3 tanx-sinx=(sin/cosx)-sinx =(sinx-sinx cosx)/cosx =(sinx(1-cosx))/cosx より (tanx-sinx)/x^3 =(sinx(1-cosx))/x^3(cosx) =(1/cosx)・(sinx/x)・(1-cosx)/x^2 ここまでしかわかりません (3)lim(x→∞) x{log(2x+1)-log2x} =xlog(2x+1/2x) =log(1+(1/2x)^2 ここまでしかわかりません (4) lim(x→1) [-x^2+2x+2] ([ ]はガウス記号) ガウス記号についてはよくわからないのですが、 ガウス記号を考えないでとくと -x^2+2x+2 =-((x-1)^2)+3 ここまでしかわかりません ご親切におしえてください おねがいします
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分係数の定義を用いた極限
文字の書きかえがわからないので質問します。問題は、 lim(x→0){e^(x^2)-1}/{1-cosx}・・・(1)の極限を求めよ。というものです。 解答では、{e^(x^2)-1}/{1-cosx}=(1+cosx){{e^(x^2)-1}/1-cos^2x} =(1+cosx){e^(x^2)-1}/{sin^2x}=(1+cosx)(x^2/sin^2x){{e^(x^2)-1}/x^2}として、 (1)=lim(x→0)(1+cosx)(x/sinx)^2{{e^(x^2)-1}/x^2}=2*1^2*1=2と書いてあります。 分からない点は、lim(x→0){{e^(x^2)-1}/x^2}=1です。lim(x→0){(e^x-1)/x}=1・・・(2)は問題の直前に証明がのっていました。(2)においてxをx^2に書きかえたら、 lim(x→0){{e^(x^2)-1}/x^2}=1になるという説明は納得できそうでできません。 数学IIの教科書にも余弦の2倍角の公式より、sin^2α=(1-cos2α)/2 ここでαをα/2に書きかえて、半角の公式を導ています。しかし、 y=log10(1-3x)を微分せよで、解答はy'=(1-3x)'/{(1-3x)log10}=3/{(3x-1)log10}になります。文字を書きかえるだけなら、y'=1/{(1-3x)log10}になると思います。どういう基準で文字を書きかえて公式が成り立つ、成り立たないを判断するのでしょう?どなたか教えてください。おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- いろいろな極限値
次の極限値を求めよ。 (1)lim(X→+∞)(π/2 -tan^-1 X)^1/x (2)lim(X→+0) Xlog(sinX) (3)lim(X→+2) {log(h+1)-log3}/(h-2) (4)lim(X→+0) (Xtan^-1・1/X) (5)lim(X→+0) (X-1)/(cos^-1・X)^2 (6)lim x→0 (1-cosX)/X (7)lim X→+0 (1+X)^1/X (8)lim X→0 (tan^-1)・1/X^2 (9)lim X→0 (Xtan^-1)・1/X^2 (10)lim h→0 (e^5h - e^2h)/h (11)lim n→∞ 1/n(1/√(n+1)+ 1/√n+2 )+1/√2n) (12)lim x→+0 √{(x+3)(5x-1)}/(x+3) (13) lim x→-0 √{(x+3)(5x-1)}/(x+3) よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 大変参考になりました。