方程式

質問

ｘ＋ｙ＋ｚ＝６
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１４
ｘ＾３＋ｙ＾３＋ｚ＾３＝３６
のとき、ｘ＾５＋ｙ＾５＋ｚ＾５の値を求めよ。という問題ですが、

答えは、ｘｙｚの組み合わせが１，２，３なので２７６と直感で分かりました。

しかし、解く方法が分かりません。ヒントをください。

回答No.1

take_5

＞答えは、ｘｙｚの組み合わせが１，２，３なので２７６と直感で分かりました。

そうだね、普通は次数を下げていくんだが、この方程式は解けてしまうのでつまらない。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝６‥‥(1)、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１４‥‥(2)、ｘ＾３＋ｙ＾３＋ｚ＾３＝３６‥‥(3)

(2)において、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾2-2（xy+yz+zx）＝14であるから、xy+yz+zx＝11.
(3)において、ｘ＾３＋ｙ＾３＋ｚ＾３＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）*（x＾2＋y＾2＋z＾2-xy-yz-zx）＋3xyz＝36から　xyz＝6.
以上から、x、y、zはt＾3-6t＾2＋11t-6＝0の3つの実数解であるが、この方程式は（t-1）*（t-2）*（t-3）＝0となり解けてしまう。
x、y、zについては平等から、x＝3、y＝2、z＝1としても一般性を失わない。
従って、ｘ＾５＋ｙ＾５＋ｚ＾５＝276.

お礼

直感から解答へ結びつけるところが難しいですよね。

ありがとうございました。