連立方程式の問題です。

質問

x,y,zが次の連立方程式をみたしているとき、以下の問いに答えよ。ただし、ｘ、ｙ、ｚは複素数とする。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝0
(x＾3）＋〈ｙ＾3）＋〈ｚ＾3〉=-17
(x＾4)＋(y＾4)＋(z＾4〉＝2

・xyzの値を求めよ。
・xy*yz*zxの値を求めよ。
・x^2+y^2+z^2の値を求めよ。

x=-y-zを代入してやってみたのですが、そこで詰まってしましました。。。
できるだけ途中の説明を多くお願いします。。。
ヒントもお願いします。。。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin） · ベストアンサー

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
x+y+z=0, x^3+y^3+z^3=-17より　-17=3xyz　ゆえに　xyz=-17/3
xy*yz*zx=(xyz)^2=289/9

x^4+y^4+z^4
=(x^2+y~2+z^2)^2-2{(x^2)(y^2)+(y^2)(z^2)+(z^2)(x^2)}

ここで
(x^2)(y^2)+(y^2)(z^2)+(z^2)(x^2)
=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)
=(xy+yz+zx)^2

x^2+y~2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
=-2(xy+yz+zx)

したがって、
x^4+y^4+z^4
={-2(xy+yz+zx)}^2-2(xy+yz+zx)^2
=2(xy+yz+zx)^2
x^4+y^4+z^4=2 より xy+yz+zx=1, -1

xy+yz+zx=1のとき
x^2+y~2+z^2=-2(xy+yz+zx)=-2

xy+yz+zx=-1のとき
x^2+y~2+z^2=2(xy+yz+zx)=2