整数方程式の能率的な解き方とは?

質問

4x-5y+2zは13で割り切れる時、

(1)x+13y-z
(2)6x-10y-z
(3)x-y-2z
(4)-7x+12y+3z
(5)-5z+3y-4z

のどれが13で割り切れるか。
という問題で、答えは(4)なのですが
能率良く探す方法ってあるのでしょうか?

回答No.5

good777 · ベストアンサー

4x-5y+2zは13で割り切れる時、
4x-5y+2z=4x＋8y+2z－13ｙ＝2(2ｘ＋4ｙ＋ｚ)－13ｚが13でわりきれるので，
(2ｘ＋4ｙ＋ｚ)は13で割り切れる。

(1)x+13y-z＝(ｘ－ｚ)－13ｙ　　(ｘ－ｚ)が13で割り切れるとは限らない不適
(2)6x-10y-z＝(6ｘ＋3ｙ＋12ｚ）－13ｙ－１３ｚ　　(6ｘ＋3ｙ＋12ｚ）が13で割り切れるとは限らない不適
(3)x-y-2z＝(ｘ＋ｙ＋11ｚ)－13ｙー13ｚ　　(ｘ＋ｙ＋11ｚ)が13で割り切れるとは限らない不適
(4)-7x+12y+3z＝3（2ｘ＋4ｙ＋1）－13ｚ　（2ｘ＋4ｙ＋1）が13で割り切れるので適する。　◎
(5)-5z+3y-4z＝3ｙ－9ｚ　が13で割り切れるとは限らない不適

■答え■　(4)

お礼

遅くなりまして申し訳ありません。
お蔭様でとても参考になりました。

回答No.4

sonetea

あ…さり気なく間違えてしまいました

× 私が良くやる手としては 4x-5y+2z = 13 を満たすx,y,zを探して
○ 私が良くやる手としては 4x-5y+2z = 13の倍数 を満たすx,y,zを探して

探し方として今回の場合を例に挙げます。
右辺を13とすると奇数なので、yも奇数となります。
適当に1としましょう。
4x-5+2z = 13 となりましたが4xより2zの方が融通が利くので、x=0とします。
-5+2z = 13
z = 9
よって、x=0, y=1, z=9

別な例としては右辺を0としましょう（0も13の倍数といえます）
今度は右辺が偶数なので、yも偶数。
y=0としましょう。さらにxを1とすると、
4-0+2z = 0
z = -2

このように、偶奇に注目したりすると案外楽に探せます。

お礼

有り難うございます。

つまり、4x-5+2z = 13の特殊解を見つけて、その特殊解を満たすものを(1),(2),…,(5)から探せばいいのですね。

回答No.3

age_momo

#2です。大幅訂正。

今の場合は割り切れるので互いに素の2でくくれば消すことが出来ますが、
割り切れない(剰余が0ではない場合)はくくり出すだけで消せはしませんでした。
だから

(1)x+13y-z≡x+12z (mod13)
(2)6x-10y-z≡6x+3y+12z≡3(2x+y+4z) (mod13)
(3)x-y-2z≡x+12y+11z (mod13)
(4)-7x+12y+3z≡6x+12y+3z≡3(2x+4y+z) (mod13)
(5)-5z+3y-4z≡7x+3y+9z (mod13)

また、
4x+8y+2z
2x+4y+z
が13で割り切れるのなら
13x+13y+13z-(4x+8y+2z)=9x+5y+11z
13x+13y+13z-(2x+4y+z)=11x+9y+12z
も13で割り切れそうです。
これら3つの式のいずれかに合うものを探す必要がありました。

お礼

遅くなりまして申し訳ありません。
お蔭様でとても参考になりました。

回答No.2

age_momo

全ての係数を0～12にしてしまうのはどうでしょうか。(負は不可)
与式は
4x-5y+2z≡4x+8y+2z≡2x+4y+z (mod13)　(∵2と13は互いに素)

以下同様に
(1)x+13y-z≡x+12z (mod13)
(2)6x-10y-z≡6x+3y+12z≡2x+y+4z (mod13)
(3)x-y-2z≡x+12y+11z (mod13)
(4)-7x+12y+3z≡6x+12y+3z≡2x+4y+z (mod13)
(5)-5z+3y-4z≡7x+3y+9z (mod13)

与式と同じなのは(4)です。

回答No.1

sonetea

こういう問題は一般的にどのように解くんでしたっけ…
一応、4x-5y+2z = 13k (k:整数) とおいて、
z = ... の形にして(1)～(5)に代入すれば求められましたけど。

私が良くやる手としては 4x-5y+2z = 13 を満たすx,y,zを探して代入すると言う方法ですね。
この場合は
x=2,y=-1,z=0 や x=1,y=0,z=-2
などがありますね。

お礼

ありがとうございます。

> x=2,y=-1,z=0 や x=1,y=0,z=-2
よく、すばやく探せますね。
カンで探すんですかね?