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二次不等式の場合分け

お早う御座います。 二次不等式の問題で解らないことがあるので質問します。 [問]---- x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0-----(1) x^2+3x-4a^2+6a<0---------(2) について、次の各問いに答えよ。ただしaは正の定数とする。 1. (1)(2)を解け 2. (1)(2)を同時に満たすxが存在するのは、aがどんな範囲にあるときか。 3. (1)(2)を同時に満たす整数xが存在しないのは、aがどんな範囲にあるときか。 -------- 問1番の答え 3/4<aの時、-2a<x<2a-3 a=3/4の時、解無し (x+3/2)^2<0より 0<a<3/4の時、2a-3<x<-2a -------- 問1番は分かったのですが、問2番と問3番で場合分けをどのようにすれば良いの か見当が付かず、どうしても分かりません。 宜敷御願い致します

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  • ベストアンサー
  • kumipapa
  • ベストアンサー率55% (246/440)
回答No.2

簡単そうに見えて、案外面倒な問題ですね。 a > 0 のもとで、 (1) x^2 - (2a + 3) x + a^2 + 3a < 0  ⇔  (x - a) (x - a - 3) < 0 より、(1) の解は a < x < a + 3  (a の値によらず、これが解) (2) x^2 + 3x - 4a^2 + 6a < 0  ⇔  (x + 2a) (x - 2a + 3) < 0 より、(2) の解は - 2a < 2a - 3 即ち 3/4 < a のとき    -2a < x < 2a - 3 -2a = 2a - 3 即ち a = 3/4 のとき      解無し 2a - 3 < - 2a 即ち 0 < a < 3/4 のとき  2a - 3 < x < - 2a (1) と (2) が共通解を持つ a の範囲を求める) (2) の解が a の値によって場合分けされているから、同じように場合分けして考えて見ましょう。 3/4 < a のとき (2) の解は -2a < x < 2a - 3 ですが、a > 0ですから -2a < 0< a 従って、(2) の解の上端の 2a - 3 が (1) の解の下端である a よりも大きければ、(1) と (2) は共通解を持つことになります。2a - 3 = a の場合は共通解はなし。このあたりは数直線で考えましょう。 a < 2a - 3 ∴ a > 3 これは、3/4 < a の条件を満たします。 a = 3/4 のとき、共通解はなし((2) に解がない)。 0 < a < 4/3 のとき、(2) の解は 2a - 3 < x < -2a ですが、-2a < 0 より、(2) の解が x< 0 の領域にあり、(1) とは共通解はありません((1) の解は x > 0 の領域にある)。 以上より、(1) と (2) をともに満たす x が存在する a の範囲は a > 3 となります。 (1) と (2) を同時に満たす整数が存在しない a の範囲) 0 < a ≦ 3 では (1) と (2) をともに満たす x が存在しないのですから、当然、(1) と (2) を同時に満たす整数も存在しないので題意を満たします。 3 < a のとき、 (1) と (2) の共通解は、a < x < 2a - 3 (< a + 3) または a < x < a + 3 (≦ 2a - 3) ですが、a < x < a + 3 が共通解となるとき、そこに必ず整数も存在するから不適。よって、a < 2a - 3 < a + 3 (即ち 3 < a < 6) であることが必要です。 さらに、a < x < 2a - 3 に整数が含まれないためには、2a - 3 ≦ a + 1 であることも必要です。a が整数である場合に a < x < 2a-3 = a + 1 なら x は整数にならないので題意を満たしますから、2a - 3 ≦ a + 1 と等号が付きます。これを解けば、a ≦ 4 ですが、こいつは必要条件であって、a ≦ 4 ならば題意を満たすというわけではありません。少なくとも a ≦ 4 でなければならないということです。ということで、3 < a ≦ 4 の範囲で、(1), (2) の共通な整数解が存在しない a を調べればよいです。 3 < a < 4 のとき、 a < x < 2a - 3 に整数が含まれないためには 2a - 3 ≦ 4 でなければなりません。 故に、3 < a ≦ 7/2 a = 4 のとき、 2a - 3 = 5 であるから (1) と (2) の共通解は 4 < x < 5 であり、整数を含まないので題意を満たします。 よって、(1), (2) を同時に満たす整数が存在しない a の範囲は、a≦3 の場合も含めて、 0 < a ≦ 7/2 または a = 4 または、[x] を xを超えない最大の整数とすると、3 < a のとき a < x < 2a - 3 に整数が含まれない必要十分条件は 2a - 3 ≦ [a] + 1 ここで、任意の a (> 3 ) は、 自然数 n (≧ 3) と 実数 α ( 0 ≦ α < 1) をもちいて a = n + α と表せるから、 2(n + α) - 3 ≦ [n + α] + 1 2n + 2α - 3 ≦ n + 1    (∵ [n + α] = n ) α ≦ (4 - n)/2 この不等式と n ≧ 3 , 0 ≦ α < 1 をすべて満たす n と α の組は n = 3 , 0 ≦ α ≦ 1/2 および n = 4, α = 0 a = n + α, 3 < a より n = 3, 0 ≦ α ≦ 1/2 のとき 3 < a ≦ 7/2 n = 4, α = 0 のとき a = 4 0 < a ≦ 3 の場合も題意を満たすので、0 < a ≦ 7/2 , a = 4

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その他の回答 (1)

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.1

x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0-----(1)から(x-a)*{x-(a+3)}<0. a>0より a<x<a+3 ‥‥‥(3) x^2+3x-4a^2+6a<0---------(2)から(x+2a)*{x-(2a-3)}<0.‥‥(4) ここからは、一般的には数直線で考える場合が多い。 >2. (1)(2)を同時に満たすxが存在するのは、aがどんな範囲にあるときか。 3/4<aの時 (4)は-2<a<0<x<2a-3‥‥(5)であるから、これが(3)と同時に満たすxが存在するのは 2a-3>3.‥‥(6) a=3/4の時、解なしだから条件を満たさない。 0<a<3/4の時、(4)は 2a-3<x<-2a<0より条件を満たさない。 以上、(6)から a>3. 3. (1)(2)を同時に満たす整数xが存在しないのは、aがどんな範囲にあるときか。 これも上と同じように解けばよい。 但し、a<2a-3<a+3で 0≦(2a-3)-(a)≦1に注意。 別解 x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0-----(1)から(x-a)*{x-(a+3)}<0. a>0より a<x<a+3 ‥‥‥(3) x^2+3x-4a^2+6a<0---------(2)から(x+2a)*{x-(2a-3)}<0.‥‥(4) (3)と(4)を座標平面上に図示する。 aをy軸にとると、(3)は(x-a)>0、{x-(a+3)}<0、or、(x-a)<0、{x-(a+3)}>0。 (x+2a)*{x-(2a-3)}<0.‥‥(4)は、(x+2a)>0、{x-(2a-3)}<0.‥‥、or、(x+2a)<0、{x-(2a-3)}>0. こうしておいて、y=aより(これは、x軸に平行な直線)上下に動かしてみると、すぐ答えは出ると思うけど。。。。。。。?

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