２次関数

質問

＊２次関数y=9/4x^2+ax+bのグラフをCとしCが２点（０，４）と（２，k）をとおるとする。このときa=k-アイ/ウ、b=エである。

（１）グラフCがx軸と接するのはk=オ、k=カキのときであり、接点のx座標はそれぞれx=ク/ケ、x=コサ/シである。

（２）グラフCがx軸と２点A,Bで交わり、線分ABの長さが２以上となるkの範囲はk<スセ、ソタ<ｋである。(不等号の下に＝あり）

以上です！！ア～タに入る数字とその解き方を教えて下さい！！お願いします！

回答No.3

Aquoibonist · ベストアンサー

No2で答えたものですが、訂正です。
＞　a＜-3、a＞3のとき、k＜3、k＞19なので
「k＜3」ではなく「k＜-3」です。

お礼

ありがとうございました。とても助かりました。この問題はセンター対策の問題なのですよ。２次関数苦手なのでホント助かりました。ありがとうです！！

回答No.4

fushigichan

こんにちは。
まず、２次関数y=9/4x^2+ax+bのグラフをCとしCが２点（０，４）と（２，k）をとおるとする。
ということなので、ｘ＝０、ｙ＝４を代入しましょう。
４＝ｂとなるので、ｂ＝４・・・（エ）
次にｘ＝２、ｙ＝ｋを代入しますと、
ｋ＝９＋２ａ+４このことより、a＝（ｋ－１３）/２
よって、（ア）１、（イ）３、（ウ）２になりますね。

（１）グラフCがx軸と接するのは
y=9/4x^2+ax+b
=9/4(x^2+4a/9*x)+b
=9/4(x+2a/9)^2+b-a^2/9
このグラフは、頂点（-2a/9,b-a^2/9)の二次関数。
これがｘ軸と接するには、頂点のｙ座標が０である。
b-a^2/9=0
b=a^2/9=4
a=6または-6
このとき、ｋの値は、それぞれｋ＝２５、ｋ＝１
よって（オ）１（カ）２（キ）５
そのときの接点の座標は（－４/３，０）（４/３，０）
よって（ク）４（ケ）３（コ）－（サ）４（シ）３である。

(2)は自分でやってみましょう。
グラフが２点Ａ，Ｂで交わるということは、判別式が正なので
判別式をとります。
つぎに、２つの実数解をαとβとおきます。
解と係数の関係から
α+β=-4a/9
αβ=16/9
となります。しかも、α＜βとすると、β－α＞２となるので、
（β－α）＾２＞２＾２＞０からaの範囲を求めることができます。

がんばってみてください！！！

お礼

ありがとうございます。やってみます！！もうすぐ受験なので苦手な２次関数を克服できるようがんばります！ホント助かりました。回答ありがとうございました。

回答No.2

Aquoibonist

Cが(0,4)を通るので,x=0,y=4を代入して4=b
すなわちb=4
次に(2,k)を通るのでx=2,y=kを代入して
k=9+2*a+4　したがってa=(k-13)/2
(1)式を平方完成すると
　　y=(9/4*(x+2*a/9)^2)-a^2/9+4
これより、x軸と接するのは-a^2/9+4(最小値)が0のとき.
-a^2/9+4=0とa=(k-13)/2より、x軸と接するときのkの値は
k^2-26*k+25=0の解で、k=1、25
このときx=-2*a/9であり、
k=1のときa=-6
k=25のときa=6
これを代入して
(k,x)=(1,12/9),(25,-4/3)
(2)グラフの式y=0として判別式を取ると、
(判別式D)=a^2-9
2点で交わるのでD＞0　　よってa^2-9＞0
　よってa＜-3、a＞3
解と係数の関係より、2点Ａ,Ｂのx座標をそれぞれα,β(α<β)とすると
α+β=-4*a/9、α*β=16/9
(β-α)^2=(α+β)^2-4α*β=16*a^2/81-64/9≧4
よってa^2≧900/16
a=(k-13)/2より
(k-13)^2≧225
よってこれより求めるkの範囲はk≦-2、28≦k
a＜-3、a＞3のとき、k＜3、k＞19なので、もとめたkの範囲はこの範囲に入っているのでOK.
センターの問題っぽいですね。

回答No.1

hinebot

実際に解いて見ましたか？
ここでいきなり質問しないで、自分で解いてみてどこで、どう詰まっているのかそれを示して質問する方があなたの為なんですが。

一応、ヒントです。
ア～エ:２点（０，４）と（２，k）の座標をＣの式に代入して、
得られた式をa,bの連立方程式と見て、解けばＯＫです。

(1)ｘ軸と接する⇔2次方程式9/4x^2+ax+b が重解を持つ⇔判別式＝０　です。このとき、a、ｂはア～エで求めた値を使って計算し、ｋを求めましょう。ｋが求められたら、元の2次式に代入すればxもでます。

(2)グラフCがx軸と２点A,Bで交わる⇔2次方程式9/4x^2+ax+b=0 が２つの実数解を持つ⇔判別式≧０　です。
これが、１つの条件です。
線分ABの長さが２以上　⇔　2次方程式9/4x^2+ax+b=0 の２つの解の差が2以上　です。
x^2+px+q = 0 の２つの解をα、βとするとα＋β＝-p,αβ=q（解と係数の関係）です。これと（α－β）^2 = α^2-２αβ+β^2,（α＋β）^2 = α^2+２αβ+β^2
から、α－βをa,bで表しましょう。（もちろん、a,bはア～エで求めた値を使います。）

お礼

ヒントありがとうございます。初めの方は自分で解いたのですが途中からわからなくなってしまって・・・解答もないので解いたところまでの答えもあっているか不安だったので全部問題を書いてしまいました。次からは自分で解いて分からなかったところだけ聞くようにしたいと思います。反省です。でも、ヒントくれてとても助かりました。ありがとうございました。