連続当選確率の平均値について

質問

例えば、箱の中に赤・青の二色のボールがそれぞれ一つずつ入っており、その箱の中から１回につき一つボールを取り出しまたボールを戻し、また取り出すという行為を繰り返したとき、赤のボールを平均何回連続で引くことができるか(赤のボールを引いた時点から考えて)？
これは連続しない確率の逆数で算出できるので、「1/0.5」で２回になりますよね。
そこで、「赤いボールを２回連続で引いた場合、３回目以降の抽選から青のボールを箱にもうひとつ加えた状態で抽選を行う」という条件を加えた場合の平均連続数(赤を平均何回連続で引くか)はどう求めるのでしょうか？
少し訳のわからない質問で申し訳ないですが、詳しい方よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

赤を引く確率を p ( 0 ＜ p ＜ 1) とすると、青を引く確率は 1 - p で、赤、青のボールの数がずっと１個ずつなら、ずっと p = 1/2 です。
まずは、青の玉の数が変わらない場合の、連続して赤を取り出す平均値を求めて見ます。最初の赤は１個に数えます。確率を考えるのは、最初の赤を取り出した、その次の試行からです。k 回連続して赤いボールを取り出す確率を P(k) とすると、
連続１個　→　最初の赤の次に青　→　P(1) = 1 - p
連続2個　→　最初の赤の次に赤、その次に青　→　P(2) = p (1 - p)
連続3個　→　最初の赤に続いて赤・赤・青　→　P(3) = p^2 (1 - p)
・・・
連続 k 個　→　P(k) = {p^(k-1)} (1 - p)　
・・・
その平均値は
Σ(k=1,∞) k P(k) = 1 / (1 - p)　　（←赤が出ない確率の逆数）

です。p = 1/2 ならば平均値は 1 / (1 - 1/2) = 2 です。質問者さんのおっしゃるとおりです。

次に、赤を２回連続引いたら、赤を取り出す確率が p から q ( 0 ＜ q ＜ 1 ) に変化するとします。質問者さんのケースでは、p = 1/2 , q = 1/3 です。前と同じように確率を求めると、
連続１個　→　最初の赤の次に青　→　P(1) = 1 - p
連続2個　→　最初の赤の次に赤、（青を追加して）その次に青　→　P(2) = p (1 - q)
連続3個　→　最初の赤に続いて、赤・(青を追加して）赤・青　→　P(3) = p q (1 - q)
・・・
連続 k 個　→　P(n) = p {q^(k-2)} (1 - q)
・・・
その平均値は
Σ(k=1,∞) k P(k) = (1 + p - q) / (1 - q)

質問者さんのケースですと、p = 1/2, q = 1/3 で平均は 1.75 回となります。当然ですが、確率が途中で下がるので、平均も下がります。

赤が n 回連続したときに、赤を取り出す確率が p から q へ変化する場合には、赤を連続して取り出す回数の平均値は、
{ 1 - p^n + {p^(n-1)} q - q } / {(1 - p) (1 - q)}
となります。
面倒なので途中計算省略しちゃってすみません。

お礼

回答ありがとうございます。
とてもすっきりしました！
計算式も丁寧で、大変参考になります。

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

> 一度赤を引いてからの継続期待値ですのでこの場合それは除いて考えています。
> 抽選で赤を引いたことを起点としての期待値

　「赤のボールを引いた時点」でその赤を連続1回目と数えるのか、それとも「起点」なんだから0回目と数えるのか、そこんとこが曖昧ですから、ご自分で計算してね、と回答したんです。

> 最初と途中で抽選確率が一定の条件で変動する場合の継続期待値(平均継続数)を求める方法を知りたかったのですが、

　まさしくそれを回答したんですけどね。どうもポイントが伝わってないようで…
　ある条件Cが満たされたときに、青のボールの数が変わる。その後にn回続けて赤を引くという事象をR(n)とする。そこで、条件付き確率P(R(n)|C)およびそれを使った期待値 ΣnP(R(n)|C)を計算したのがANo.1の冒頭部分です（ご指摘の通り、ボールの個数が間違ってた。すいません。「二色」を「二個」と見間違えてましたよ）。
　あとは、条件Cが成立しない場合が生じる確率とその場合に連続何個赤を引いたかの期待値、および、条件Cが成立する確率とCが成立した時点で既に連続何個赤を引いているか、が分かればご質問は解決する。期待値の計算がお出来になるぐらいだから、これは簡単な問題でしょ？

お礼

再度ありがとうございます。
説明がなってなくてすみませんでした。
「赤のボールを引いた時点でその赤を連続1回目と数える」です。
いわゆるパチンコの連荘確率と似た考えのものです。
そのシグマによる総和(この場合は標準偏差？)の計算法をとっくの昔に忘れてしまったので自分でできなかったんですよ。
パチンコの条件変動の期待値は単純に出せると聞いたので、これに当てはまらないかと思ったのですが、少し知識不足でしたね。

回答No.1

stomachman

ご質問はちょっとおいといて、青いボール3個と赤いボール2個の入った箱でくりかえし抽選をすることを考える。すると、「初めて青を引くまでに連続何回赤を引くか」の期待値は2/3回です。（stomachmanは計算間違いの常習犯ですけど。）

　さて、ご質問の問題に戻ると、「赤のボールを引いた時点から考えて」ってどういう意味だか全然わかりませんけど（いや補足しなくて結構）、ともあれ最初の抽選で青を引いてしまう確率が1/2。
　残り1/2の確率で次に進みます。途中で青のボールを１個追加すると、以後は冒頭で検討した問題そのまんまです。
　あとは自分で考えてね。

お礼

回答ありがとうございます。
＞最初の抽選で青を引いてしまう確率が1/2…一度赤を引いてからの継続期待値ですのでこの場合それは除いて考えています。
つまり、最初と途中で抽選確率が一定の条件で変動する場合の継続期待値(平均継続数)を求める方法を知りたかったのですが、質問の説明が悪かったですね。失礼しました。
＞ご質問はちょっとおいといて、青いボール3個と赤いボール2個の入った箱でくりかえし抽選をすることを考える。すると、「初めて青を引くまでに連続何回赤を引くか」の期待値は2/3回です。
…余談ですが、赤・青一つずつのボールの入った箱にひとつの青いボールを付け加えるので青２個、赤１個です。また前述したとおりまず、抽選で赤を引いたことを起点としての期待値ですので、この場合は1.5回ですね。