繊維の最密重点の問題です、ご教授下さい

質問

「断面が等しい円である無限に長い直線状の繊維の最密充填の配列を見出せ
また、この配列の充填率はいくらか」
という問題が分からなくて困っております。
どなたか考え方だけでも教えていただけないでしょうか、よろしくお願いいたします。

回答No.1

shota_TK · ベストアンサー

正三角形の頂点から、各辺の1/2の長さの半径の円を書きます。
60度の扇形が3つできますね。
最密充てんの充てん率は、このときの
「扇形の面積×３／正三角形の面積」になると思います。
75％ぐらいだったように記憶しています。

回答No.2

Zincer

shota_TKさんの回答で問題ないと思います。
「断面が等しい円である無限に長い直線状の繊維」と言うことは、要するに直径の等しい（無限高さの）円柱ですね。
また、「無限に長い」と言うことは、高さ方向と垂直の平面上の断面形状（要するに円）の最密充填配列を探せば良いことになります。またこの時の「円の面積の占有率」が「空間中での繊維の充填率」となります。
※これの数学的に証明は数学のカテゴリーにお任せします。

２つの円までは問題有りませんね。接する配置が最密充填です。
では、３つ目の円はどこに配置するのが最密充填でしょうか？
中心の位置が正三角形に配列すれば最密です。
※この数学的に証明も数学のカテゴリーにお任せします。
正三角形は平面を隙間無く埋めることができますから、後はこのパターンを繰り返せば良いわけです。
また、この時の占有率を円の半径を取りあえずＲとでもおいて計算にしてみてください。
「半径Ｒの円の面積の１／６」×３／「１辺が２Ｒの正三角形の面積」
となり、最終的にはＲは無くなります。（つまり円で有ればその半径には依存しません。）