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計算です
1×( 2+3+…+n) + 2×(1+ 3+4+…+n) + …+ n×(1+2+…+(n-1) ) を計算して綺麗な形にしたいのですが、分かりません。教えて下さい。 第i項は、i×(1+2+…+(i-1)+ (i+1)+…+n)です。つまり、 第1項ではカッコの中で1が足されません。第2項ではカッコの中で2が足されません。 …。第i項ではカッコの中でiが足されません。…。第n項ではカッコの中でnが足されません。
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S＝1×( 2+3+…+n) + 2×(1+ 3+4+…+n) + …+ n×(1+2+…+(n-1) ) として i番目の項にi^2を加えて後で引くと Ｓ＝Σ_{i=1 to n}i(1+2+3+…+n)－Σ_{i=1 to n}i^2 ＝(1+2+3+…+n)Σ_{i=1 to n}i－Σ_{i=1 to n}i^2 ＝(Σ_{i=1 to n}i)^2－Σ_{i=1 to n}i^2 以下略． [別解] 最初から(a+b+c)^2のように (1+2+3+…+n)^2＝Σ_{i=1 to n}i^2＋Ｓ を使った方がラク．(同じ数の２乗の項の和＋異なる２項の積の和)
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- sanpogo
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与式に（1^2+2^2+3^2+・・・+n^2）-（1^2+2^2+3^2+・・・+n^2）を足します。 そうすると （１＋２＋・・・＋ｎ）^2-（1^2+2^2+3^2+・・・+n^2） になりますよね。 =(1/2)・n(n+1)Σ( k=1 to n )k-Σ( k=1 to n )k^2 ・ ・ ・ あとは＃１の方と同じです。
お礼
ありがとうございました。
- Rossana
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Σ( k=1 to n )[k×(1+2+…+(k-1)+(k+1)+…+n)] =Σ( k=1 to n )[k×{Σ( m=1 to n )m-k}] =Σ( k=1 to n )[k×{(1/2)・n(n+1)-k}] =Σ( k=1 to n )[k×{(1/2)・n(n+1)-k}] =(1/2)・n(n+1)Σ( k=1 to n )k-Σ( k=1 to n )k^2 =(1/2)^2・n^2(n+1)^2-(1/6)n(n+1)(2n+1) =(1/12)・n(n+1)[3n(n+1)-2(2n+1)] =(1/12)・n(n+1)[3n^2-n-2] =(1/12)・n(n+1)(n-1)(3n+2) 計算ミスしていなければこれが答えです。
お礼
ありがとうございました。
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