オペアンプのカットオフ周波数の計算式

質問

オペアンプのカットオフ周波数の計算式でｆ１＝１／２π＊Ｒ１＊Ｃ１　ｆ２＝１／２π＊Ｒ２＊Ｃ２と本に書かれていたのですが
バンドパスフィルターの計算式とは違っています
f1 = [ √{ ( C1 + C2 )^2*R1^2 + 4*C1*C2*R1*R2 } - ( C1 + C2 )*R1 ]/( 4*π*C1*C2*R1*R2 )
f2 = [ √{ ( C1 + C2 )^2*R1^2 + 4*C1*C2*R1*R2 } + ( C1 + C2 )*R1 ]/( 4*π*C1*C2*R1*R2 )
この計算式の違いが解りません
またＱ値は１次フィルターでも大きくできるのか、ハイパスフィルターでもＱは発生するか、説明書では２次フィルターのローパスフィルターでのＱ値しか説明がありませんでしたので教えて下さい

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

問題のBPF（http://sanwa.okwave.jp/qa3924451.html）は「多重帰還型BPF」というわれものの変形で、入力アッテネータがないものになります。
多重帰還型BPFは、Qを大きくしようとすると（狭い周波数帯だけ通過させるようにすると）、中心周波数 f0 での利得を非常に大きくしなければならないので、出力が飽和しやすいという欠点があります。そのため資料[1], [2] にあるように、R1 と R2 からなるアッテネータ（減衰器）で、入力信号のレベルを一旦落とすという構成が用いられます。問題の回路は、[2] の回路で R2→∞ としたものになりますので、1/R2 の項をゼロとして計算してみてください。

本に書かれている「ｆ１＝１／２π＊Ｒ１＊Ｃ１、２＝１／２π＊Ｒ２＊Ｃ２」という式は、単純なCR回路によるLPF [2] とHPF [3] のカットオフ周波数です（OPアンプを使った微分回路と積分回路のカットオフ周波数も同じ式になります）。問題のBPFは１つの回路でHPFとLPFを構成しているので４個の素子（C1, C2, R1, R2）がお互いに影響し合います。そのためカットオフ周波数の式が複雑になります。f1 と f2 の式から
　　　f2 - f1 = ( 1 + C1/C2 )/( 2*π*C1*R2 )
　　　1/f1 - 1/f2 = 2*π*C2*R1*( 1 + C1/C2 )
となりますが、Q が小さく、f2 >> f1 ならば、
　　　f2 - f1 ≒ f2
　　　1/f1 - 1/f2 ≒ 1/f1
と近似できるので
　　　f2 ≒ ( 1 + C1/C2 )/( 2*π*C1*R2 )
　　　f1 ≒ 1/{ 2*π*C2*R1*( 1 + C1/C2 ) }
と近似されます。さらに、C1 << C2 であれば（R1 = R2 のときはそうなる）、C1/C2 は１に比べて無視できるのでこれをゼロとすれば
　　　f2 ≒ 1/( 2*π*C1*R2 )
　　　f1 ≒ 1/( 2*π*C2*R1 )
となります。本に書かれている式と違うのは、C1 やC2 の番号のつけかたが異なるからです。

＞Ｑ値は１次フィルターでも大きくできるのか、ハイパスフィルターでもＱは発生するか
CRだけの１次フィルタでのＱ値（カットオフ周波数での利得/通過域の利得）は1/√2 （=0.707）と一定ですのでカットオフ周波数近傍で利得が持ち上がることはありません。問題のBPFでも２つのカットオフ周波数( f1, f2 ) が充分離れている場合には、１次のLPFと1次のHPFの特性をつなげたものになるので、LPHやHPFとしてのＱ値は1/√2 です。ややこしいですが、問題のBPFでは、BPFのＱ値は変えられます（BPFのＱ値は中心周波数/通過域の幅という意味です）。

[1]　多重帰還型BPF（１）　http://www.cqpub.co.jp/toragi/TRBN/trsample/2003/tr0306/0306an18.pdf
[2]　多重帰還型BPF（２）　　http://sim.okawa-denshi.jp/OPtazyuBakeisan.htm
[3]　CR型１次LPF　http://sim.okawa-denshi.jp/CRlowkeisan.htm
[4]　CR型１次HPF　http://sim.okawa-denshi.jp/CRhikeisan.htm

お礼

ありがとうございました大変勉強になりました
f0=20HZ Δf=5HZ Q=2 程度の回路を考案していましたので
計算できずに困っていました
前回の回答にあった計算式でＲＣが計算できました
今回のページも大変参考になりました
疑問が１つ解けて次へ進めます
ありがとうございました