オペアンプ回路のローパスフィルターと増幅度の計算方法
- オペアンプの回路について、ローパスフィルターとなるかどうかなど、計算方法について詳しく説明します。
- ローパスフィルターの計算方法は、F0=1/(2*π*(R2+R3)*C1)です。
- オペアンプ回路の増幅度の計算方法は、G=1+(R2+R3)/(R1*√2)です。R2がない場合は、ローパスフィルターになります。
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オペアンプの回路について
下記オペアンプの回路はローパスフィルターになるのでしょうか? ┌─R3───┐ │ │ │ ┌C1──│ │ │┏━┓│ Vin ──R1─┴R2┴┨- ┠┴─ Vout ┌┨+ ┃ │┗━┛ │ GND ローパスフィルターとしたら F0=1/(2*π*(R2+R3)*C1)ので計算できるのでしょうか 増幅度はG=1+(R2+R3)/(R1*√2)で計算できるのでしょうか R2が無ければローパスフィルターになるのですが R2の抵抗の計算方法が解りません R1=5K R2=100K R3=1K C1=0.01μ とした場合の計算方法を教えて下さい
- dodotan
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ANo.3 の計算に間違いがありました。 ANo.3 の回答を全面的に書き直します。 >下記図のようにOPアンプの出力側にR4が付いた場合の計算式 この場合、「OPアンプの出力=フィルタの出力」ではないので、Vout にどういう素子がつくかで特性が変わります。負荷のインピーダンスが無限大ならば特性は以下のようになります。 Vout/Vin ≡ G(ω) = [ R1 + R3 + j*ω*C1*{ R1*( R2 + R3 + R4 ) + R2*R3 } ]/[ R1 + jω*C1*{ R1*( R2 + R3 + R4 ) + R2*( R3 + R4 ) } ] 通過域利得 G(0) = 1 + R3/R1 高周波利得 G(∞) = 1 - R2*R4/{ R1*( R2 + R3 + R4 ) + R2*( R3 + R4 ) } カットオフ周波数は、R4 = 0 のとき、 fc = R1*( R1 + R3 )/[ 2*π*C1*{ R2*( R1 + R3 ) + R1*R3 }*√{ ( R1 + R3 )^2 - 2*R1^2 } ] G(0) > G(∞) なのでこれはLPFになりますが、周波数が高くなっても G がゼロとならず一定値になるという利得が制限されたLPFになります。なぜこうなるのかは、以下で理解できると思います。 直流( ω = 0 )では C1 がないのと同じなので ┌─ R3 ─────┐ │ │ │ ┏━┓ │ ┌─R1─┴ R2 ┨- ┠─R4─┴── Vout GND Vin─┨+ ┃ ┗━┛ となります。OPアンプの入力端子(-)には電流は流れないので、R2 にも電流が流れませんから、R2 は特性に影響を与えません。R4 は帰還ループの中にあるので、Vout に何がつながっていても、OPアンプが正常動作できる範囲では、R4 の影響を受けません。したがって、この回路は基本的な非反転増幅器で、利得は 1 + R3/R1 です。 逆に ω が非常に大きいときは、C1 はショートしているとみなせるので ┌─R3 ──────┐ │ │ │ ┌───┐ │ │ │┏━┓│ │ ┌─R1─┴ R2┴┨- ┠┴R4─┴── Vout GND Vin─┨+ ┃ ┗━┛ という回路になります。これは一見複雑ですが、書き直すと以下のように、利得1のバッファの出力に抵抗がついているだけの回路になります。 ┏━┓ Vin─┨+ ┠┬─┬─ R4 ─┬─ Vout ┌┨- ┃│ R2 R3 │┗━┛│ ├───-┘ └───┘ R1 ┷ GND Vout につながる負荷が無限大の場合でも、R1~R4 の抵抗で分圧されるので、利得は 1 より小さくなって 1 - R2*R4/{ R1*( R2 + R3 + R4 ) + R2*( R3 + R4 ) } となります。R2 = 0 または R4 = 0 のときは分圧されないので、利得は1になります。 カットオフ周波数は、R4 ≠ 0 のとき、大変複雑な式になります(ちゃんと解けます)。そのため、上では R4 = 0 とした式にしました。その場合、√の中が正のときにだけ fc が存在します。その条件は ( R3 + R1 )^2 - 2*R1^2 > 0 つまり R3 > ( √2 - 1 )*R1 ≒ 0.414*R1 です。R4 = 0 の場合、利得の最低値が1なので、DC利得 1 + R3/R1 が √2 より大きくないと、利得が1に下がりきらないので fc が存在しなくなります。
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- inara1
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>R3 = 1kΩで 3.25倍(5.54dB) 失礼しました。正しくは R3 = 1kΩで 1.45倍(3.25dB) です(dodotan さんの計算で合ってます)。 周波数特性のグラフは、回路シミュレータの数値データをExcelに落として描いたものですが、理論式のほうは以下の式をセルに貼り付けて計算したものです。 =20*LOG10(IMABS(IMDIV(COMPLEX(_R1+_R3,2*PI()*$B9*_C1*(_R1*(_R2+_R3+_R4)+_R2*_R3)),COMPLEX(_R1,2*PI()*$B9*_C1*(_R1*(_R2+_R3+_R4)+_R2*(_R3+_R4)))))) $B9 は周波数の値のセル、_R1 などは素子の値を入れているセルの名前です(R1という名前はセル番号と同じになってエラーになるので、アンダーバー _ をつけています)。IMABSやCOMPLEX は複素数の関数ですが、これは以下の手順で「分析ツール」を有効にしないと使えません。 メニューバーの [ツール] → [アドイン] → [分析ツール] をチェック → OK >計測器の最終段のアナログ出力です R3でDC~50Hzの利得を微調整しているのでしょうが、なぜこの帯域だけなのでしょうかね。温度や湿度、加速度など変化の遅い信号が対象なのでしょうが、その場合、50Hz以上の信号はノイズとなるので利得を落とすはずです。50Hz以上の利得を一定にしている理由が分かりません。R4( 100Ω) はOPアンプの出力に容量性の負荷がつながったときにOPアンプが発振しないようにするためか、あるいはOPアンプの出力が短絡されたときにOPアンプを保護する目的のものだと思いますが、R4 を入れているために50Hz以上の利得が1未満(0.957 = -0.356dB)になっています。R4 = 0 とすると、50Hz以上の利得は 1 (0dB) になります。
お礼
ありがとうがざいました 大変勉強になりました 私は設計者ではありませんので目的は解りませんが A/Dボードに入っていますので 回路の保護が目的ではないかと判断しています 0~10V程度のDC出力ですので ノイズフィルター(ローパスフィルター)と思っていましたが あまりフィルターの役割も果たしていないようですね
- inara1
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回路シミュレータでシミュレーションしてみました(OPアンプはAD822)。 利得の周波数特性をここ(http://upp.dip.jp/01/img/5893.jpg)にお置きました。ANo.4 の理論式とほとんど同じです。 >増幅度は1+(R3/R1)で1.2程度となります。この程度では低周波増幅の意味がないのではと思いますが R3 = 0Ω での低周波利得は1倍(0dB)、R3 = 470Ωで 1.214倍(1.68dB)、R3 = 1kΩで 3.25倍(5.54dB)ですから可変範囲は小さいですね。周波数特性を見ると、50Hz以下を持ち上げるような回路(低音Boost)のようです。これは何かのオーディオ回路の一部でしょうか。
お礼
ありがとうございます 周波数特性のグラフを見ました >R3 = 470Ωで 1.214倍(1.68dB)、R3 = 1kΩで 3.25倍(5.54dB) この数値が気になるのですが 電圧比で計算すると1.214倍は1.68dBになりますが 3.25倍は10.2dBになります エクセルでの計算式は=LOG(電圧比^2、10)*10で 計算しました。 私の計算式が違っているのでしょうか >これは何かのオーディオ回路の一部でしょうか。 オーディオではありません 計測器の最終段のアナログ出力です この後A/D変換されてPCに入ります
- inara1
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>fcが存在しなくなるということは、コンデンサーが無い回路と同じになるのですか いえ、コンデンサは機能しています(LPFになっています)。ただし、R3 < ( √2 - 1 )*R1 の場合は、高周波(周波数∞)での利得が、DCの利得よりも3dB以上下がりません。カットオフ周波数 fc というのは、DCでの利得よりも利得が3dB小さく周波数という定義なので、その場合、fc は存在しないことにはなりますが、周波数が大きくなるほど利得が小さくなるというLPFの特性は変わりません。実際の回路が R3 < ( √2 - 1 )*R1 となっていることから推測すると、この回路はLPFというより、イコライザ(低音をやや持ち上げる)のような機能ではないでしょうか。 >実際の回路ではR3が470ΩでR1が2.2KΩになっています 手元に回路シミュレータがありますので、他の素子値(R2, R4, C1)とOPアンプの型番が分かれば、この回路の周波数特性を計算できます。ここではその結果を書けないので、どこかの画像掲示板に貼り付けますので、それを見てください。OPアンプは普通のものなら適当なもの(LM358など)で計算してみますが。
お礼
OPアンプはAD822です ┌─R3──────┐ │ │ │ ┌C1──┐ │ │ │┏━┓│ │ ┌─R1─┴R2┴┨- ┠┴R4─┴── Vout GND Vin─┨+ ┃ ┗━┛ R1=2.2KΩ R2=100KΩ R3=470Ω R4=100Ω C1=0.01μです 実際はR3がトリマーで1KΩでほぼセンターになっています 増幅度は1+(R3/R1)で1.2程度となります この程度では低周波増幅の意味がないのではと思いますが 宜しければ計算をお願いします
- inara1
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>フィルター回路は種類が多くて悩んでいます OPアンプ1個だけの回路でも3次、4次などいくらでもあります。しかし、ANo.1の方法を使えば原理的には計算できます。 >下記図のようにOPアンプの出力側にR4が付いた場合の計算式 この場合、「OPアンプの出力=フィルタの出力」ではないので、Vout にどういう素子がつくかで特性が変わります。負荷のインピーダンスが無限大ならば特性は以下のようになります。 Vout/Vin ≡ G(ω) = { R1 + R3 + j*ω*C1*( R1 + R2 )*( R3 + R4 ) }/{ R1 + j*ω*C1*( R1 + R2 )*( R3 + R4 ) } 通過域利得 G(0) = 1 + R3/R1 高周波利得 G(∞) = 1 カットオフ周波数 fc = R1*( R1 + R3 )/[ 2*π*C1*( R1 + R2 )*( R3 + R4 )*√{ ( R3 - R1 )^2 - 2*R1^2 } ] G(0) > G(∞) なのでこれはLPFになりますが、周波数が高くなっても G > 1 という、減衰域の利得が制限されたLPFになります。なぜこうなるのかは、以下で理解できると思います。 直流( ω = 0 )では C1 がないのと同じなので ┌─ R3 ─────┐ │ │ │ │ │ ┏━┓ │ ┌─R1─┴ R2 ┨- ┠─R4─┴── Vout GND Vin─┨+ ┃ ┗━┛ となります。OPアンプの入力端子(-)には電流は流れないので、R2 にも電流が流れませんから、R2 は特性に影響を与えません。R4 は帰還ループの中にあるので、Vout に何がつながっていても、OPアンプが正常動作できる範囲では、R4 の影響を受けません。したがって、この回路は基本的な非反転増幅器で、利得は 1 + R3/R1 です。 逆に ω が非常に大きいときは、C1 はショートしているとみなせるので ┌─R3 ──────┐ │ │ │ ┌───┐ │ │ │┏━┓│ │ ┌─R1─┴ R2┴┨- ┠┴R4─┴── Vout GND Vin─┨+ ┃ ┗━┛ という回路になります。これは一見複雑ですが、書き直すと以下のように、利得1のバッファの出力に抵抗がついているだけの回路になります。 ┏━┓ Vin─┨+ ┠┬─┬─ R4 ─┬─ Vout ┌┨- ┃│ R2 R3 │┗━┛│ ├───-┘ └───┘ R1 ┷ GND Vout につながる負荷が無限大の場合は利得 = 1 ですが、そうでない場合は、R1~R4 の影響を受けることが分かると思います。 カットオフ周波数の式 fc = R1*( R1 + R3 )/[ 2*π*C1*( R1 + R2 )*( R3 + R4 )*√{ ( R3 - R1 )^2 - 2*R1^2 } ] から分かるように、√の中が正のときにだけ fc が存在します。その条件は ( R3 - R1 )^2 - 2*R1^2 > 0 つまり R3 > ( 1 + √2 )*R1 です。利得の最低値が1なので、DC利得 1 + R3/R1 が 2 + √2 より大きくないと、利得が下がりきらないので fc が存在しなくなります。
- inara1
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ANo.1 に間違いがありました。 【誤】 (R2) I1 - i2 = ( V1 - Vout )/R3 --- (4) 【正】 (R3) i1 - i2 = ( V1 - Vout )/R3 --- (4) なお、R2 がなければ(R2 = 0 ) fc = 1/( 2*π*C1*R3 ) G0 = -R3/R1 となります。この場合、G0 を一定に保ったまま fc を連続的に変える(fc可変のLPFとする)には C1 を連続的に変えなければなりませんが、C1 の値が大きいとき、そのようなバリコン(可変コンデンサ)は入手困難です。 問題の回路(R2 > 0)ならば、C1 の値を固定し、R2 を連続的に変えることで、G0 を一定に保ったまま fc を連続的に変えることができます。抵抗値を変えるのであれば、可変抵抗(ボリューム)が使えるので、こちらの回路のほうが fc 可変のLPFを作るのに適しています。
お礼
ありがとうございます フィルター回路は種類が多くて悩んでいます また1つ勉強になりました もう1つ質問があるのですが 下記図のようにOPアンプの出力側にR4が付いた場合の計算式を 教えていただけませんか OPアンプの+-入力は逆になっています(非反転入力)です ┌─R3──────┐ │ │ │ ┌C1──┐ │ │ │┏━┓│ │ ┌─R1─┴R2┴┨- ┠┴R4─┴── Vout GND Vin─┨+ ┃ ┗━┛
- inara1
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これは1次のLPFです。 カットオフ周波数は fc = R1/[ 2*π*C1*{ ( R1 + R2 )*R3 + R1*R2 } ] 通過域の利得(DC利得)は G0 = -R3/R1 となります。計算方法は以下の通りです。 i1 - i2 → ┌── R3 ────┐ │ i2→ │ │ ┌- C1─┤ i1→ │ i2→ │┏━┓│ Vin ── R1 ─┴─ R2 ─┴┨- ┠┴─ Vout V1 0V┌┨+ ┃ │┗━┛ ┷ GND R1 に流れる電流を i1、R2 に流れる電流を i2 とします。OPアンプの入力端子(-)には電流は流れないので、R2 と C1 に流れる電流は等しくなります。R3 に流れる電流と R2 に流れる電流を足したものは R1 に流れる電流に等しい(電流連続則)ので、R3 に流れる電流は i1 - i2 となります(これに R2 を流れる電流 i2 を足すと、R1に流れる電流 i1 になる)。 R1 と R2 の間の電圧を V1 とします。OPアンプに負帰還がかかっている状態では、入力端子間の電圧は等しい(仮想シュート)なので、入力端子(-)の電圧はゼロとなります。 これで各素子に流れる電流と両端の電圧が分かったので、各素子について以下の式が得られます。 (R1) i1 = ( Vin - V1 )/R1 --- (1) (R2) i2 = V1/R2 --- (2) (C1) i2 = ( 0 - Vout )/{ 1/( j*ω*C1 ) } = -j*ω*C1*Vout --- (3) (R2) I1 - i2 = ( V1 - Vout )/R3 --- (4) 式(1),(2)を式(4)に代入して整理すると Vin/R1 - ( 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 )*V1 +Vout/R3 = 0 --- (5) となります。式(2),(3)から V1 = -j*ω*C1*R2*Vout --- (6) なので、これを式(5)に代入して整理すれば Vout/Vin = G(ω)= -R3/[ R1 + j*ω*C1*{ (R1 + R2 )*R3 + R1*R2 } ] --- (7) となります。これがこのフィルタの複素利得(伝達関数)です。 通過域の利得 G0 は、直流(ω=0)利得なので、式(7)にω=0 を代入すれば G0 = -R3/R1 カットオフ周波数は、利得の大きさが G0/√2 になる周波数なので R3/( √2*R1 ) = R3/√[ R1^2 + ω^2*C1^2*{ (R1 + R2 )*R3 + R1*R2 }^2 ] これを ω(>0)について解くと ωc = R1/[ C1*{ ( R1 + R2 )*R3 + R1*R2 } ] → fc = ωc/( 2*π ) = R1/[ 2*π*C1*{ ( R1 + R2 )*R3 + R1*R2 } ]
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