ケーキはどちらに？

質問

二人の兄弟に一つのケーキが与えられました。
兄はゲームでどちらがケーキを食べられるか提案し、弟もそれに同意しました。
兄は三つの同じ箱を用意し、そのうちのひとつにケーキを隠しました。
兄はどの箱にケーキがあるか知っていますが、弟は知りません。
兄は弟にどの箱に入っているか当てられたらおまえが食べていいと言うと
弟は「これにする」と三つのうちの一つを選びました。
兄が弟の選んだ箱を開けようとすると、
弟は「待って、これだと僕が勝つ確率は１／３で兄ちゃんの勝つ確率は２／３で不公平だ」と言いました。
すると、兄は「おまえの選ばなかった箱のどちらかは空だ」と教えてくれ、弟の選ばなかった空の箱を開けました。そして、箱を選び直すか聞いてきました。
すると弟は、
「ケーキは兄ちゃんが開けなかった二つのうちどちらかに入ってるわけだ、どちらも確率は１／２だね。それなら選びなおすか直さないかは問題じゃない。僕は変えないよ。これは公平なゲームだ。」

さて、あなたは弟の意見に同意できますか？

回答No.19

jun1038

意見を訂正します。いろいろお騒がせしてすみませんでした。

やはりこの問題は、数学的だけでなく文学的？にも考えなければダメですね。

問題は、
兄が恣意的・意図的に箱を開けている、という点と
弟の、「選択を変えなくても公平だ」という意見が正しいか、という点
です。

１００万個のケーキで考えれば、兄はケーキがどの箱に入っているか知っており、
はずれの箱を選んで開けているわけです。
弟がはじめに選んだ箱は、１００万分の１の確率ですから、
おそらく「スカ」でしょう。
兄は残った箱のうち、自分が分かっているはずれをどんどん開けていって、
最後に２個残りますが、これだけで弟の確率が増えるわけでなく、
やっぱり「スカ」でしょう。
このとき、公平だから選択を変えないというのは間違っています。

弟の立場でなく、兄の立場で考えるとすぐ分かります。
「しめしめ、やっぱりスカを引いたな。
　では、他のはずれをどんどん開けていって２個にすれば、
　確率２分の１と錯覚して、選択を変えないかも・・」
でな感じかな。この問題がすぐ分かった人は「兄的思考をする人」カモ？

eatern27さんへ、少しだけ反論。
赤玉・白玉の例では、やっぱり確率は変わります。
玉は「兄」とは違い、「偶然」こぼれ落ちたので、
この場合は「条件付き確率」になります。赤玉の確率は２分の１。
ケーキも、兄がどれにケーキが入っているか知らずに、
適当に箱を開けていって、たまたま２個残った場合は、確率２分の１で
変更してもしなくても変わりません。

それでは。