ax+b=0につき

質問

以下の「三文字a,x,bからなる等式ax+b=0についてのstatement」に関して誤った点をご教示下さいませ。

【質問】
「a,x,bの三文字の数からなる等式(A)ax+b=0をxについて解きなさい。」（について解く際に）

【私が陥った難点……本来はこの問題を解く際には踏み込まなくてよかった】
上式を解く際には「除算a/bについてはb=0の場合は定義されないという点につき『定義』は『証
明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』」となりえない。故に数が「0」が割れないと
いう「定義」は証明されて初めて「定理」となりうる（高等学校数学課程の範囲内でおさまるか
きわめて微妙な問題）。

i)
　a=0の場合　
a=0を等式(A)に代入して、xの値にかかわらずb=0を得る。
　即ち、a=b=0の場合にはxの値にかかわらず、等式(A)は成立する。
　この場合は、等式(A)は、xの値にかかわらずに成立するので、xに関しての「恒等式」となる。

ii)
a≠0の場合
α) b=0の場合
　 b=0を等式(A)に代入して、ax=0
ここでa≠0だから上式の両辺をaで割ってx=0を得る。
β)b≠0の場合
　 ax+b=0の両辺よりbを引き
　 ax=-b更にa≠0なので、両辺をaで割って
　 x=-b/aを得る。
　 この場合をxに関しての「（一次）方程式」となる。

回答No.6

koko_u_ · ベストアンサー

>ここで、「実数は０で割れない」（ご指摘のように『「０」で』の誤記です）のと定義されるとされますが、
>「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのかという点に拘泥いたしました。

ナイスな着眼です。
もちろん「証明する必要がある」のですが、非常に難しいです。
それは何をもって「実数」とするのか？という問いとほぼ同じです。

お礼

ご教示どうもありがとうございます。それでも「補足」にもお願い申し上げた通りです。何卒宜しくご教示方お願い申し上げます。

補足

ＮＯ．６の方へ
その証明をしていただくわけにはお願いできませんでしょうか。もしくは、それは、明らかに「高等学校の数学課程」をこえていることを説明していただけませんでしょうか。

回答No.8

arrysthmia

＞「実数は０で割れない」と定義されるとされますが、
＞「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのか

「矛盾」という語の捉え方がオカシイのではないでしょうか？

実際に「０で割れる」とか「０で割れない」とか以前に、
もし定義すればできるものを敢えて定義しなかったとしても、
そのことによって矛盾が生じることはありません。
無矛盾な論理系から公理の数を減らしても、
無矛盾であることは変わらないからです。

実数論の無矛盾性とソレとは、また別の話題だと思います。

一方、数学の他の部分と一貫しない余計な定義を置くと、
そのことによって矛盾が生じることは有り得ます。
０で割った商を勝手に定義したりすれば、そのようなことが起こります。
それを避けるために、「０で割った商」を、または「０で割ること」を
定義しないのです。

「割れない」と定義されているのではなく、
「割れる」とは定義しない。これは、似ているようで全く違うことです。
その辺が理解できれば、０除算に関する曖昧な疑問は自己解決できる
ような気がしますね。質問者自身が No.5 への補足に挙げている
リンク先には、まさにその事が書いてあるのですが。

回答No.7

koko_u_

>その証明をしていただくわけにはお願いできませんでしょうか。
ムリ。私の手に余る。
別途、実数体の定義の無矛盾性について質問を立てれば、誰か数学基礎論に詳しい人が回答してくれるかも。

お礼

ご多忙の折、わざわざ「Suggestion」ありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

「ax+b=0をxについて解きなさい」と言われたら、
与えられたa,bの値に対応するxを答えなければいけません。
a,bが特定されていなければ、場合分けして適切に対処する
必要があるでしょう。

「a=0の場合　
a=0を等式(A)に代入して、xの値にかかわらずb=0を得る」
のように、勝手にbの値を決めてしまっては、
問題の一部分（ここでは、偶然b=0であった場合のみ）しか
解いていないことになります。

正解は、No.2のかたが書いておられますね。

お礼

ご指導ありがとうございます。「No.2のかた」（前半）と貴殿のご助言で、よく分かりました。でも「No.2のかた」（後半）は「当方の拙文」にもかかわらず、それに対してはやさしい筆致で書いていただいているのにもかかわらず、未だ納得が行きません（本来は「No.2のかた」に書くべきかも知れませんが……）。「実数は０で割れない」と定義されるとされますが、「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのかという点です。「３／０」は「定義されていない」だけですませうる問題なのでしょうか。関連ＵＲＬを添付させていただきます。「http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655」以上
ありがとうございました。

回答No.4

debukuro

定義＞＜定理
です
証明されなければ定理ではないが定義は「先ずこうである」と定めるものです

お礼

ご返礼遅くなってしまい申し訳ありません。それでも「定義＞＜定理」なる「Statementの（＞＜）の部分がよく分かりません。「定義は『先ずこうである』と定めるものです」（貴殿からの引用）ですが、＃３の方にも投げかけたのですが、「定義」が矛盾をはらんでいる場合には、どう考えればよいのでしょうか。

補足

「お礼」の部分にも書いたのですが、「定義＞＜定理」なる「Statementの（＞＜）の部分」がよく分かりません。改めてご教示頂けませんでしょうか。

回答No.3

koko_u_

>【私が陥った難点……本来はこの問題を解く際には踏み込まなくてよかった】
>上式を解く際には「除算a/bについてはb=0の場合は定義されないという点につき『定義』は『証
>明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』」となりえない。故に数が「0」が割れないと
>いう「定義」は証明されて初めて「定理」となりうる（高等学校数学課程の範囲内でおさまるか
>きわめて微妙な問題）。

何を言わんとしているのか全くわかりません。

>『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』となりえない。
定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。
通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)

>故に数が「0」が割れないという「定義」は証明されて初めて「定理」となりうる
『「0」で』の誤記か？
実数の世界では 0 では割らないと定めています。そこに矛盾はありません。
そして「 0 で割らない」という取り決めは定理ではありません。

お礼

ご返礼遅れまして申し訳ございません。ご指導ありがとうございます「問題の後半」につき当方が「拙文」でものしたのにもかかわらず、ご指導ありがとうございます。それでも、未だ納得が行きません。本来は「教えてgoo」対する投稿を「二分割」すべきであったのですが、当方は「三文字a,b,xからなる等式ax+b=0（equation A）をxに対して解きなさい」を自分で解いていく過程で、誤って「equation A の両辺からbを差し引いてax=-bここでa=0の場合はx=-b/0」となってしまうので、どう説明したらよいのかを悩むように陥ってしまいました。

ここで、「実数は０で割れない」（ご指摘のように『「０」で』の誤記です）のと定義されるとされますが、「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのかという点に拘泥いたしました。それは、貴殿と＃４の方のご指導にもやや、現れているのですが、その点に関しては、「>『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』となりえない。「定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)」なるご指導も受けました。私が疑問に思って強調したいことは、この「Statement」です。「受動的にそれを否定する証明」がない限りとおっしゃっている意味にとらえられるのですが、逆に「能動的に誤謬がないことを証明」する方法はないのでしょうか。これについて述べていただいているＵＲＬを因みに御添付いたします。例えば「3/0」を「定義されていない」だけですませうるのでしょうか。「http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655」以上　今後ともご指導ご鞭撻何程宜しくお願い申し上げます。ありがとうございました。

補足

誠に申し訳ございません。「補足」と「お礼」の違いがよく分かっておりませんので貴殿の「補足要求」というものを見落としてしまいました上に、「お礼」と同内容の返信をさせていただく失礼をお許し下さいませ。

ご返礼遅れまして申し訳ございません。ご指導ありがとうございます「問題の後半」につき当方が「拙文」でものしたのにもかかわらず、ご指導ありがとうございます。それでも、未だ納得が行きません。本来は「教えてgoo」対する投稿を「二分割」すべきであったのですが、当方は「三文字a,b,xからなる等式ax+b=0（equation A）をxに対して解きなさい」を自分で解いていく過程で、誤って「equation A の両辺からbを差し引いてax=-bここでa=0の場合はx=-b/0」となってしまうので、どう説明したらよいのかを悩むように陥ってしまいました。

ここで、「実数は０で割れない」（ご指摘のように『「０」で』の誤記です）のと定義されるとされますが、「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのかという点に拘泥いたしました。それは、貴殿と＃４の方のご指導にもやや、現れているのですが、その点に関しては、「>『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』となりえない。「定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)」なるご指導も受けました。私が疑問に思って強調したいことは、この「Statement」です。「受動的にそれを否定する証明」がない限りとおっしゃっている意味にとらえられるのですが、逆に「能動的に誤謬がないことを証明」する方法はないのでしょうか。これについて述べていただいているＵＲＬを因みに御添付いたします。例えば「3/0」を「定義されていない」だけですませうるのでしょうか。「​http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655​」以上　今後ともご指導ご鞭撻何程宜しくお願い申し上げます。ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞他に誤った箇所はありませんでしたでしょうか。少し、心配です。

　たぶんお分かりのことかと思い細かくは指摘しませんでしたが、ｉ）でａ＝０のときは（ｘが解を得るためには）ｂ＝０でなければならないとされていますが、問題にはｘが解を持たなければならないというような条件は付されていないようですので、ｂ≠０の場合も考慮して「ｘは解なし」とした方が良いかと思います。
　つまり、次のように感じです。

ｉ）ａ＝０のとき
　α）ｂ＝０ならば、ｘは任意の実数　（与式はｘの恒等式）
　β）ｂ≠０ならば、ｘは解なし

　あとは気になった点としては、
＞【私が陥った難点……本来はこの問題を解く際には踏み込まなくてよかった】
＞上式を解く際には「除算a/bについてはb=0の場合は定義されないという点につき『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』」となりえない。故に数が「0」が割れないという「定義」は証明されて初めて「定理」となりうる（高等学校数学課程の範囲内でおさまるかきわめて微妙な問題）。
とありますが、意味がよく分かりませんでした。
　『定義』は問答無用のものですので、『定義』できなければ定義不能としておけばよいように思います。
　『定義』には『証明』は不要で、『定理』にする必要もないかと思いますが。

お礼

ご返礼遅れまして申し訳ございません。ご指導ありがとうございます。「＃５の方」と貴殿のご助言で、よく分かりました。でも、「（＃２としての）貴殿の（後半）」は「当方の拙文」にもかかわらず、それに対してはやさしい筆致で書いていただいているのにもかかわらず、未だ納得が行きません。本来は「教えてgoo」対する投稿を「二分割」すべきであったのですが、当方は「三文字a,b,xからなる等式ax+b=0（equation A）をxに対して解きなさい」を自分で解いていく過程で、誤って「equation A の両辺からbを差し引いてax=-bここでa=0の場合はx=-b/0」となってしまうので、どう説明したらよいのかを悩むように陥ってしまいました。

ここで、「実数は０で割れない」と定義されるとされますが、「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのかという点に拘泥いたしました。それは、＃３の方と＃４の方のご指導にもやや、現れているのですが、その点に関しては、「>『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』となりえない。「定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)」（＃３の方からの引用）なるご指導も受けました。私が疑問に思って強調したいことは「定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)」（＃３の方からの引用）という「Statement」です。「＃３の方」は「受動的にそれを否定する証明」がない限りとおっしゃっている意味にとらえられるのですが、逆に「能動的に誤謬がないことを証明」する方法はないのでしょうか。これについて述べていただいているＵＲＬを因みに御添付いたします。例えば「3/0」を「定義されていない」だけですませうるのでしょうか。「http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655」以上　今後ともご指導ご鞭撻何程宜しくお願い申し上げます。ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

＞ii) a≠0の場合

　このケースから、さらに b=0とb≠0　で場合分けしていますが、その必要はないように思うのですが。
　どちらの場合も単純に、ｘ＝－ｂ／ａ　となり、ｂ＝０のときのｘ＝０も含んでいると思います。
　なぜ敢えてｂで場合分けされたのでしょうか。

お礼

「なるほど、そうですね」早速のご指導ありがとうございました。でも、他に誤った箇所はありませんでしたでしょうか。少し、心配です。