fがp∈E⊂Rで極限を持つなら∃M,δ>0 such that ∀x∈E,0<|x-p|<δ,|f(x)|≦M
度々スイマセン。
[Q]Suppose E⊂R,p is a limit point of E,and f:E→R.Prove that if f has a limit at p,then there exists a positive constant M and a δ>0,such that |f(x)|≦M for all x∈E,0<|x-p|<δ.
[問]E⊂R:実数体とせよ。pをEのある集積点とし、f:E→Rとする。もし、fがpで極限を持つなら
∀x∈E,0<|x-p|<δに対して,|f(x)|≦Mとなるような正の定数Mとδ>0が存在する事を示せ。
という問題です。
「f が p で極限を持つ（f has a limit at p）」の定義は
「∃L∈R; 0<∀ε∈R,0<∃δ∈R such that |x-p|<δ⇒|f(x)-L|<ε」です。
まず、仮定から0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-p|<δ(x∈E)⇒|f(x)-L|<ε…(1)
と書けるから
|f(x)|=|f(x)-L+L|≦|f(x)-L|+|L|<ε+|L|(∵(1))
なのですがεは色々な値をとる変数ですよね。
ですからM:=ε+|L|とは置けませんよね。
この場合,どうすれば宜しいのでしょうか?
