断熱膨張がわかりません

質問

断熱膨張すると温度が下がるのはなぜか教えてください。私は「PV/T=一定」でP=一定、Vが大きくなるからTも大きくなるとどうしても考えてしまいます。

回答No.9

siegmund

siegmund です．

> 1式はどうやって出せばいいですか。

高校の物理でも範囲に入っているようなのですが
以下は大学理工系１年次くらいのレベルの話です．

定積比熱を C_V と書くことにして(V が下付のつもり)，
エネルギー保存を表す熱力学第１法則は
(1)　　d'Q = C_V dT + p dV
です．
流入した微小な熱 d'Q が 微小な温度変化 dT による内部エネルギー分 C_V dT と
微小な体積変化 dV による外への仕事分 p dV とになった，ということです．
微小な熱の「'」は熱 Q が状態量でないのでつけています．
断熱なので d'Q = 0 です．
ここまでは，どんな物質でもＯＫ(気体でも液体でも固体でも，etc)．

ここからあとは理想気体(n モル)に限った話です．
(1)で d'Q = 0 おいた式に pV = nRT を使って p を消すと
(2)　　C_V dT + nRT(dV/V) = 0　　⇔　　C_V (dT/T) + nR(dV/V) = 0
になります．
C_p = C_V + nR (Mayer の式)を使って
(3)　　C_V (dT/T) + (C_p - C_V) (dV/V) = 0
で，これを積分して
(4)　　C_V log T + (C_p - C_V) log V = 一定
すなわち
(5)　　T V^(γ-1) = 一定　　ただし γ = C_p/C_V
体積変化と温度変化を結びつけるには(5)が使いやすいでしょう．
(5)にもう一度 pV = nRT を使うと，
(6)　　p V^γ = 一定
が出ます．
T,p で表現するなら
(7)　　T p^{-(γ-1)/γ} = 一定
になります．

空気ですと主成分の窒素も酸素も２原子分子ですから，
C_V = (5/2)nR で γ = 7/5，(γ-1)/γ = 2/7 となります．
はじめ T1 = 300 [K]，p1 = 2^7 [気圧] = 128 [気圧] から始めて
p2 = 1 [気圧] が最終状態とすると，
(8)　　T2 = T1×(p1/p2)^(-2/7) = 75 [K]
ということになります．
ただし，本当はこんなに冷えません．
窒素の沸点が 77 [K]，酸素の沸点が 90 [K] ですから，
こんなに冷える前に理想気体という前提が成り立たなくなります．

ちょっと見落としていたのですが，No.7 で First_Noel さんの訂正をしたとき
は「γは比熱比で，単原子分子理想気体で 5/3，２原子分子理想気体で 7/5 です」
としないといけませんでした．

回答No.8

siegmund

熱力学では p,V,T を変数に取ることが普通ですが，
これら３つは独立ではなく２つだけが独立です．
例えば，n モルの理想気体ならいつでも pV = nRT ですから，
p,V,T の内２つを決めれば残りの１つは自動的に決まります．

さて，気体を断熱的に膨張させれば圧力は結果的に減少します．
ですから，膨張前の状態と膨張後の状態とでは圧力は同じではありません．
前に書きましたように，
気体の圧力(膨張途中で圧力は刻々変わりますから，その時点での圧力)と周囲の圧力
(ピストンで圧力をコントロールしていると思えばわかりやすい)とが
バランスが取れた状態がずっと保たれているのが準静的断熱膨張です．

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　　　　　┌┐　　┃
　　　──┤│　　┃
　　　　　└┘　　┃
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図のようにシリンダー内に１０気圧の気体が入っていて，
これを１気圧まで断熱的に膨張させるとします．
最初はピストンにストッパーを掛けておいてピストンの圧力を9.9気圧にしておきます．
ストッパーを掛けている間は何事も起こりません．
ストッパーをはずしますと，気体は9.9気圧になるまで膨張します
(すなわち，p が減って V が増えた．ピストンは左に動いた)．
またピストンにストッパーを掛けて，ピストンの圧力を9.8気圧にします．
ストッパーをはずすと，気体は9.8気圧になるまで膨張します
以下同様に繰り返して，１気圧まで膨張させます．
このようにすると，膨張時の気体と外部の圧力差は0.1気圧以下に押さえられます．
もちろん，圧力ステップを0.01気圧にすれば圧力差は0.01気圧以下に押さえられるわけで，
このステップを無限に細かくした極限が「準静的」に膨張させるということなのです．

上のように膨張させるときに，p と V とがどのような関係にあるかを示しているのが
No.1 の First_Noel さんの
(1)　　p(V^γ) = 一定
です(ただし，理想気体の場合にのみ成立する式です)．

以下，理想気体として
(2)　　pV = nRT
は常に成立しますから，
(1)(2)を組み合わせて準静的断熱膨張後の温度を知ることができます．

お礼

ありがとうございます。
圧力の増やし方がわかりました。
また質問なんですが1式はどうやって出せばいいですか。また、2式はどこで使えばいいですか。

回答No.7

siegmund

oshiete_goo さんも注意しておられますが，
どういうプロセスの断熱膨張かを明らかにする必要があります．
代表的なのは
(a) 準静的断熱膨張
(b) 真空中への断熱自由膨張
(c) ジュール・トムソン膨張
でしょう．

(a) 準静的断熱膨張
気体が断熱的に膨張する際に，
気体の圧力(膨張途中で圧力は刻々変わりますから，その時点での圧力)と周囲の圧力
(ピストンで圧力をコントロールしていると思えばわかりやすい)とが
バランスが取れた状態がずっと保たれているのが準静的断熱膨張です．
もちろん気体の圧力とピストンの圧力とが本当に同じだとすると気体は膨張しませんから，
無限小だけ気体の圧力の方が大きいと考える必要があります．
この場合は理想気体かどうかにかかわらず，必ず温度低下が起こることが知られています．

(b) 真空中への断熱自由膨張
oshiete_goo さん解説のとおり，理想気体では温度変化が起こりません．
膨張に際し，断熱で仕事をしませんから，気体の内部エネルギーは元のままで体積が増えました．
温度と体積とを独立変数に取ったとき，理想気体では内部エネルギーは温度にのみ依存して
体積には依存しません．
したがって，内部エネルギーが不変⇔温度不変，ということになります．

(c) ジュール・トムソン膨脹

　　━━━━━━━┳━━┳━━━━━━
　　　　　┌┐　　┃多孔┃　　┌┐　　
　　　──┤│１　┃隔壁┃　２│├──
　　　　　└┘　　┃ ┃　　└┘　　
　　━━━━━━━┻━━┻━━━━━━

１側の圧力を P_1，２側の圧力を P_2 とピストンで保っておいて(P_1 > P_2)，
気体を断熱的に押し出して膨脹させるのがジュール・トムソン(ＪＴ)膨張です．
気体が一辺に吹き出てしまわないように，中央に多孔質の隔壁を設けてあります．
これだと気体が仕事をして温度が下がりそうな気がします．
実は，この過程ではエンタルピー H = U + pV という量が不変であることが知られています．
U は内部エネルギー，V は体積．
理想気体ですと U は温度に比例し(単原子なら (3/2)RT)，pV = RT ですから(T は絶対温度)
H = (5/2)RT となります．
すなわち，H が不変なら温度も不変です．
理想気体でない場合には，状況によって温度が下がったり上がったりします．
ある温度 T_inv を境にして，
１の状態が T > T_inv であればＪＴ膨脹で温度が上がり，
１の状態が T < T_inv であればＪＴ膨脹で温度が下がる，
ということが知られています．
T_inv は逆転温度(inversion temperature)と名前が付いています．
T_inv は気体の種類によります．
１の状態が常温だとして，その気体の T_inv が常温より高ければＪＴ膨脹で温度が下がり，
その気体の T_inv が常温より低ければＪＴ膨脹で温度が上がる，ということになります．
酸素や窒素などは T_inv が常温より高いのではじめからＪＴ膨脹で温度が下がります．
水素やヘリウムは T_inv が常温より低く，ＪＴ膨脹で温度を下げるには他の手段(例えば(a))で
あらかじめある程度まで温度を下げておく必要があります．

高圧ボンベから空気中に気体を吹き出させるのはＪＴ膨脹に近い状況と言われています．

> 理想気体と2原子分子はどう違うんですか？
理想気体かどうかと２原子分子かどうかとは別の概念です．
分子が分解してしまうようなことは今は考えないとして，
分子同士の相互作用が無視できるのが理想気体，無視できないのが非理想気体です．
理想気体では内部エネルギーは温度にのみ依存して体積には依りませんが，
非理想気体では温度にも体積にも依ります．
単原子分子は He,Ne，など．２原子分子は H_2，O_2，N_2，など．
単原子分子理想気体では内部エネルギー(１モル当たり)が U = (3/2)RT ですが，
２原子分子理想気体では U = (5/2)RT です．
したがって，First_Noel さんの
> γは比熱比で，理想気体で３／２，２原子分子で５／３です．
は「γは比熱比で，単原子分子理想気体で３／２，２原子分子理想気体で５／３です」
と訂正しないといけません．

> 簡単に言えば，ある一定のエネルギーがある体積に入っているものを，
> その体積を大きくすると，断熱なのでエネルギーの出入りがないので
> 結局中のエネルギーが薄まる，と解釈できます．
ここを修正すべきなのは oshiete_goo さんのご指摘のとおりです．

お礼

ありがとうございます。
私の脳みその容量を超えていますがaだけは何とか読めたつもりです。aで内外の圧力の差が無限小に近いなら圧力を等しいと近似してやはりＰＶ／Ｔ＝一定でＰが一定、Ｖが大きくなるのでＴも大きくなるとしてしまうんですが・・・どこが違うんですか。

回答No.6

oshiete_goo

#5の補足です.
＞普通は断熱膨張といえば周りが真空でない場合に使うことが圧倒的に多く(そもそも周りが真空という設定が特殊で, 当然といえば当然でしょうが)

これは不用意でした. 既述のように，『周りが真空だが, 力がかかったピストンを押しのける仕事をしながら膨張する』という設定ならば断熱自由膨張でない一般の断熱膨張ですが，演習問題とかでは出て来るでしょうから（普通はこれは十分特殊でしょうが），周りが真空→即『断熱自由膨張』はやはり危険ですね．

回答No.5

oshiete_goo

＞断熱膨張と断熱自由膨張との違いは周りが真空かどうかで見分ければよいのですか？
ほぼその通りです. 容器の周りが真空でも, 外から力のかかったピストンを押すときは気体は仕事をするので, 断熱自由膨張ではありません.
（例えば穴があいた壁から）真空中へただ単に広がって行く(自由膨張)の時が断熱自由膨張で, それ以外は一般の断熱膨張です. 厳密にはやはり仕事をするかどうかチェックしないといけませんね.

『断熱自由膨張』は周りが真空の場合だけです.
断熱膨張はその場合も本来は含み, 『断熱自由膨張』は『断熱膨張』の特殊な例です. でも普通は断熱膨張といえば周りが真空でない場合に使うことが圧倒的に多く(そもそも周りが真空という設定が特殊で, 当然といえば当然でしょうが), 単に断熱膨張といえば, 一般の断熱膨張（断熱自由膨張でない）である可能性が高いでしょう.

回答No.4

oshiete_goo

理想気体の場合には(分子間のポテンシャルエネルギーといったものを無視するので)
『温度∝分子の平均運動エネルギー＝全エネルギー／分子数』
です.　"∝"は比例を表していて，定数倍がつくだけなので，今の話では両辺が同じ意味と思っておいて良い．
分子数が変わらない＝モル数が変化しない という過程では，温度は考えている気体の全エネルギーに比例する量です．

断熱変化のときはエネルギーの供給はないのに，膨張の時にピストンを押すとか周りの気体を押しのけるといった仕事をすると(＊)，内部エネルギーという貯金を使って仕事をするので，貯金＝全エネルギー　が減少するので　温度つまりは分子の平均運動エネルギー＝全エネルギー／分子数　も下がります．

(＊)ですが，断熱自由膨張(断熱変化だが，周りが真空で，膨張のとき仕事をしない)だと，体積は変化しても温度は変わりません．

＞簡単に言えば，ある一定のエネルギーがある体積に入っているものを，
＞その体積を大きくすると，断熱なのでエネルギーの出入りがないので
＞結局中のエネルギーが薄まる，と解釈できます．
これは，少しmisleadingで，温度は体積あたりでなく，分子当たりの平均運動エネルギーなので，直接は体積によりません．

お礼

ありがとうございます。
難しいですね。ピストンが外に仕事をするから温度が下がるんですね。
断熱膨張と断熱自由膨張との違いは周りが真空かどうかで見分ければよいのですか？

回答No.3

First_Noel

＃２です．書き忘れました．

＞断熱膨張すると温度が下がるのはなぜか

簡単に言えば，ある一定のエネルギーがある体積に入っているものを，
その体積を大きくすると，断熱なのでエネルギーの出入りがないので
結局中のエネルギーが薄まる，と解釈できます．

気体のエネルギーは温度と考えて頂いて構いません．
と言うのも，温度で気体分子の運動速度が決まり，その運動速度により圧力が生じるからです．
結局，断熱膨張で気体の圧力も温度も下がる，更に言えばＰ／Ｔも小さくなる，と言うことになります．

回答No.2

First_Noel

気体の状態方程式は「いつでも」使えますよ．

＞私は「PV/T=一定」でP=一定、Vが大きくなるからTも大きくなると

これはＰも変数であることに注意です．
左辺がＶが大きくなると，可能性としては，
・Ｐが小さくなる
・Ｔが大きくなる
の２つがあります．つまり，Ｐ／Ｔが小さくなった，と言うことです．
しかしこれだけではどちらがどうなってそうなったのかの情報は出てきません．

そこで断熱膨張を表す式，
Ｐ（Ｖ＾γ）＝一定
Ｔ（Ｖ＾（γ―１））＝一定
を用います．γは比熱比で，理想気体で３／２，２原子分子で５／３です．
一般には，γ＝Ｃｐ／Ｃｖ，ＣｐとＣｖは定圧比熱，定積比熱です．
この式から，Ｖが大きくなるとＰが小さくなる，また，Ｖが大きくなるとＴが小さくなる，
と言うことが分かります．

お礼

ありがとうございます。
Pは変数なんですね。ピストンの問題でいえば引き具合が変わるということですか？
断熱膨張では気体の状態方程式を使わなくて解けるということですか?
理想気体と2原子分子はどう違うんですか？
質問ばかりですいません。お答えいただければ嬉しいです。

回答No.1

gyaa-toru

こんにちは。
下記URLは参考になりますでしょうか。

参考URL：http://www.hm2.aitai.ne.jp/~yamamasa/tenki/situdo/kumo/dannetu.htm

参考URL：

http://www.hm2.aitai.ne.jp/~yamamasa/tenki/situdo/kumo/dannetu.htm

お礼

ありがとうございます。
3行目までは気体の状態方程式でわかったんですが、4行目からはわかりません。気体の状態方程式を使うことが間違っているのはわかるんですがなぜ使ってはだめなんでしょうか。使って良いときと悪いときを教えてもらえませんでしょうか。