可逆断熱膨張の問題です。

質問

可逆断熱膨張の問題です。

恒温槽中に300Kに保たれた可動ピストン付きのシリンダーが置かれている。
ピストンの質量は無視してよい。
このシリンダーの中に完全気体が入っていて、気体の体積が1.50Lとなる位置にピストンが止まっている。
気体の圧力は4.00atmである。
系を断熱壁で覆い、系の圧力を外圧とつり合わせながら徐々に降下させて、最終圧力が1.00atmになるまで系を断熱膨張させた。
膨張させる前の系の温度は300Kであった。
この過程における系の仕事を求めよ。
なお、pV^γ=一定が成り立ち、γ=1.67とする。
R=8.314JK^-1mol^-1

途中まで順調に進んでいたのですが、完全に行き詰まってしまいました。
計算過程も含めて教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

jamf0421

PV^γ=c...(i)
とします。なおこの気体のモル数は
n=PV/RT=4x1.013x10^5x1.5x10^-3/(8.314x300)=0.2437 mol...(ii)
です。また膨張後の体積をVfとしいて
4x1.5^1.67=1xVf^1.67
Vf=3.44 L=3.44x10^-3 m^3...(iii)
です。
さて膨張前をi、膨張後をfとして(i)はPiVi^γ=PfVf^γですが、この両辺にそれぞれPiVi=nRTi, PfVf=nRTfを代入すると
nRTiVi^(γ-1)=nRTfVf^(γ-1)
となります。これより
Tf=Ti(Vi/Vf)^(γ-1)=300x(1.5/3.44)^0.67=172 K...(iv)
を得ます。
膨張による仕事は、気体がもらう方向をプラスにとってW=-∫PdVです。この計算を実行すると
W=-∫cV^(-γ)dV=-c[(1/(1-γ))V^(1-γ)](Vi→Vf)...(v)
となります。(i)よりc=PiVi^γ=PfVf^γですからこれを(v)に代入して
W=-(1/(1-γ))[PfVf-PiVi]=-(nR/(1-γ))(Tf-Ti)
＝-(0.2437x8.314/(1-1.67))(172-300)=-387 J...(vi)
となります。マイナスですから、仕事を外部に為しています。
ちなみに(vi)の計算は、温度差Tf-TiにｎR/(γ-1)を掛けた形になっています。そして
R/(γ-1)=(Cp-Cv)/{(Cp/Cv)-1}=Cv(Cp-Cv)/(Cp-Cv)=Cv
ですからWは
W=nCvΔT
を計算していることになります。