数学 絶対値

質問

こんにちはー。
さっそく質問ですが、絶対値３があるとします。
絶対値３＝３ですよね？
でも、なぜ絶対値３＞＝３になるのでしょうか？
これは公式で覚えるしかないことなのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.7

pontiac_gp · ベストアンサー

三角不等式って知ってますか？　|a| + |b| ≧ | a + b | ってやつです。
これを証明するとき、|a| ≧ a を使うと便利です。
左辺^2 - 右辺^2 = (途中略) = 2(|ab| - ab) ≧ 0 として証明します。

同様の例題として、
|x| < p, |x| < q のとき |qx + py| < pq + xy を証明せよ
この証明も最後は |a| - a の部分の正負が鍵になります。
（興味があったらやってみてください）

つまり「絶対値絡みの不等式証明」において、
|a| ≧ a を使えると便利ということです。

結局|a| ≧ a というのは当たり前の公式といえば当たり前の公式ですし、
覚えるしかないかというとそれは微妙で、
鋭い人なら (|ab| - ab)が0以上なことはいちいち覚えなくても
形を見て思い出せるでしょう。

受験数学に限って言えば |a| ≧ a が活躍するのは
上記「絶対値絡みの不等式証明」くらいでしょう。他に記憶にない。
よって、覚えなくても思い出せる自信があるなら
殊更に公式として覚えなくてもいいでしょう。

お礼

三角不等式は知りませんが、
絶対値絡みの不等式が出てきたら僕は
(|ab| - ab)が0以上ということを思い出すように
してみます。
ありがとうございました。

回答No.6

age_momo

>｜３｜はとにかく３以上の数字であればいいわけだから
>５とか８とか１００になってしまいませんか？

なりません。この式が変数を含んでいて、
x≧3
ならxは5や8、100でも構いませんが、|3|の大きさは3で
間違いありません。ただ、

|3| ○　3

この○に入る記号を考えなさい。
と言われれば、一番適切なのは"=",
表現として足りないけど間違いではないのが"≧"
間違いなのが"≠"や">"といった記号です。

こういう記号は両側の大きさの関係を表しているだけであって
論点は成立するかどうかだけです。

５＋３＞４

という不等式を見ても、これを根拠に５＋３が１０でも１００でも
いいですかとは聞かないでしょう？５＋３は８です。

お礼

回答ありがとうございます。

Xで考えると少しはわかるんですが、どうしても数字を入れて
考えるとよくわからなくなります。
まぁ置き換えただけと考えればしっくりは来るのですが・・・
これから問題解くときは

例えば

｜ab｜ーabという形が出てきたら
０以上だ！とおもっとけば大丈夫でしょうか？

回答No.5

age_momo

やはり、参考書に|x|≧xの解説の途中として書いてありましたか。

まず、

|3|≧3

が間違いではないことはいいですね。正確には|3|=3ですが、
間違いかと問われれば少なくとも間違いではありません。感覚としては
正方形を平行四辺形と呼んでも間違いではないのと同じです。
ただ、正方形を平行四辺形と呼ぶのと同じく違和感は残りますね。

ただ、
|x|≧x
が当たり前に成立する説明としては
例えばx=3の時は
|3|≧3
x=-5の時は
|-5|≧-5
等、あらゆる場合に成立することを例に出すのが一番だと思ったのでしょう。
もう少しきちんと書くなら

x<0の時
|x|>0>x
x≧0の時
|x|=x
よって全ての実数xにおいて
|x|≧x
が成り立つ。
と書いたほうが分かりやすいでしょうか？

一点、気になりましたが、
|x|≧x
という公式も合わせて当たり前ですから覚える必要は
ありません。ただし、|x|が出てきてこれが
何かより大きいことを証明する必要があったときに
すぐ思い浮かぶよう練習して置いてください。
これは公式を覚えるのとは違いますので注意してください。

補足

回答ありがとうございます。
まだよくわからないんですが・・・
｜３｜≧３
だったら｜３｜は３以上の数ということですよね？
そしたら｜３｜はとにかく３以上の数字であればいいわけだから
５とか８とか１００になってしまいませんか？

回答待ってます。

回答No.4

kabaokaba

これは絶対値どうこうじゃなくって
≧とかの意味を分かってないってことです

≧は「以上」です．
以上というのは「その数より大きい」かまたは「等しい」かです．
したがって，
「3≧3」は
「3は3より大きい」・・・(1)
または
「3は3と等しい」・・・(2)
です．もちろん(1)は「偽」ですが，(2)は「真」です．
したがって，
「(1)または(2)」は真なのです．
つまり
「3≧3」は真，つまり成り立つのです．

> |x|≧xは当たり前の公式で、
この式自体はその通りで当たり前です．
xが正の場合（0のときも同じ）は |x| = x = x だし
xが負の場合は |x| = -x であるが，
x<0 なので -x > 0 > x
つまり， |x| = -x > 0 > x
注意が必要なのは
0より大きいときは |x| = x
0のときは |x| = 0 = x
0より小さいときは |x| > x
であることです．
これを一緒くたにして（多少情報を落とすと）
|x| ≧ x
となるというわけです．

回答No.3

Tacosan

視覚的には y=x と y=|x| のグラフを見ればわかります.
式でごりごりしたければ, まずあなたが使っている絶対値の定義を出すべきでしょう.
例えば |x| = max(x, -x) と定義してあれば |x| ≧ x は自明ですし,
|x| = x if x ≧ 0, -x if x < 0 と定義してあれば
x ≧ 0 なら |x| = x = x, x < 0 なら (-x > 0 なので) -x > x だからあわせて |x| ≧ x ですね.
まあ, x ≧ x という不等式に違和感があるかもしれませんが, x ≧ x というのは「x = x または x > x」という意味だし, 「x = x」は成り立っているので「x = x または x > x」は成り立ちますし従って x ≧ x も成り立ちます.

回答No.2

age_momo

>でも、なぜ絶対値３＞＝３になるのでしょうか？

なぜ、こうだと思うのでしょうか？どこかに書いていましたか？
変数を用いた場合に

|x|≧x

というのは見たことがありますが、

|3|≧3

とは普通しません。|3|=3です。

お礼

回答への補足を訂正します。

例えば｜３｜≧３だし

に訂正します。

補足

では参考書に書いてあったことをそのまま書きますね。

｜x|≧xを利用する（あたり前の公式）
例えば｜３｜≧だし、｜ー５｜≧ー５だよね。

と書いてあります。
まず、｜x|≧xは当たり前の公式で、覚えるしかないことなのでしょうか？

回答No.1

luhtnkfab

絶対値３≦３
ってことですか？

絶対値は、０からどれだけ離れているかを示すものであり
絶対値３＝３か－３の二つです。

補足

≦の向きが逆ですね。
絶対値３が３以上なのです。

「以上」の記号が打てないのでわかりづらくてすみません。