[数学][絶対値][外す?]

質問

[数学][絶対値][外す?]

こんばんは。
テスト勉強で詰まってしまいました。

|x－1|＋|x－2|＝5を満たす実数のxを求めよ

この問題の解き方を教えて下さい。
「場合分け」をするのはわかったのですが
何故、どのように、場合分けをするのかがわからないです。

すみませんが、どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

happy2bhardcore · ベストアンサー

絶対値の外し方はOKですね？

｜ｘ－１｜、｜ｘ－２｜の二つを考えたとき(負、負)、(負、正)、(正、負)、(正、正)になるように場合分けすればいいのです。

つまり
(負、負)・・・ｘ<１のとき
(負、正)・・・なし
(正、負)・・・１≦ｘ<２のとき
(正、正)・・・２≦ｘのとき

について場合分けすれば良いのです。

お礼

一番聞きたかった事を教えていただけたのでベストアンサーとさせて頂きます。
おかげでテスト乗り切れました!
ありがとうございました!

回答No.5

noname#152421

普通の解き方はNo.1～4の通り。

途中で場合わけにこんがらがってしまったときに検算に使える方法について触れます。

|x－1|＋|x－2|＝5を満たす実数のx

を考えるということは、2次元の平面上で2つの焦点(1,0)、(2,0)からの距離の和が5であるような点の集合（楕円）を考えて、その楕円とx軸との交点を求めることと同じです。
（複素平面を知っているならその方がもっとすっきりする）

ですから、計算しなくても解の個数が2つであることが視覚的にすぐわかります。

2つの解のうち、

大きいほうは、点(1,0)から+3進んで（右へ3）そこから-2進む（左へ2）と(2,0)にたどり着く（ここまでの道のりの合計が5）から、1+3=4、4-2=2と考えて(4,0)で交わっているとみて4とわかる。

小さいほうは、点(1,0)から-2進んで（左へ2）そこから+3進む（右へ3）と(2,0)にたどり着く（ここまでの道のりの合計が5）から、1-2=-1、-1+3=2と考えて(-1,0)で交わっているとみて-1とわかる。

お礼

理解を深めるために役立ちました。
ありがとうございました！

回答No.4

info22_

グラフを描いて考えると分かりやすいでしょう。
水色の折れ線グラフが y=|x-1|
紫色の折れ線グラフが y=|x-2|
黒線の折れ線グラフが2つのグラフのy座標を y=|x-1|+|x-2|…(●)
のグラフで絶対値方程式の右辺のグラフになります。

青色の直線グラフが　y=5…(◆)　で絶対値方程式の左辺になります。
(●)と(◆)のグラフの交点A(-1,5)とB(4,5)のx座標のx=-1とx=4が
絶対値方程式の答えになります。

グラフを描けば黒線の折れ線グラフの折れ点の所で場合分けすれば良いことが
すぐ分かるでしょう。グラフを描くことで場合分けが間違わないようにできます。

x≦1の場合　→ (1-x)+(2-x)=5 →　∴x=-1(場合の条件を満たす)
1<x<2の場合 → (x-1)+(2-x)=5 →　1≠5 (場合の条件を満たすxは存在せず)
x≧2の場合　→ (x-1)+(x-2)=5 → ∴x=4(場合の条件を満たす)

お礼

グラフよくわかりますね。
重宝します。

ありがとうございました!

回答No.3

noname#137826

絶対値を評価するときには、絶対値記号の中に入っているものの符号を考えます。

例えば、|x|を考えてみると、

x >= 0 のとき、|x| = x
x < 0 のとき、|x| = -x

ですね。(1や-1など適当な数字を入れて確かめてみてください。)

ですから、同様にして |x-1|は

x-1 >= 0 のとき |x-1| = x-1 [A]
x-1 < 0 のとき |x-1| = -(x-1) [B]

です。|x-2|についても同様にして場合分けします。

x-2 >= 0 のとき |x-2| = x-2 [C]
x-2 < 0 のとき |x-2| = -(x-2) [D]

ですね。すると、単純に考えると、場合分けは

[A] かつ [C]
[A] かつ [D]
[B] かつ [C]
[B] かつ [D]

の4通りになります。しかし、計算するとわかるように、[B]かつ[C]を満たす x は存在しません。これを除いた3つの場合について、上記のように絶対値記号を外して方程式を解けば答えが得られます。

方程式の解が場合分けの条件に合うかどうかの確認を忘れないようにしてくださいね。

お礼

…かつ～の考え方が凄く
わかりやすかったです。

ありがとうございました!

回答No.1

aquatarku5

絶対値記号の中身の正負で場合分けします。

|3|=3, |-2|=-(-2)　ですよね？同様に、

|x-1|=x-1　(x>=1)
|x-1|=-(x-1)　(x<1)　です。

|x-2|についても同様です。

問題のコタエは、x=4、x=-1です。

お礼

素早い解答非常に助かりました。

ありがとうございました!