線形作用素とシュレーディンガー表現についての疑問
- 線形作用素とは、一般化座標qに対応する演算子Qや一般化運動量pに対応する演算子Pのことです。
- 状態ベクトルを表すψ(q)を使って、Q|ψ>やP|ψ>を計算すると、波動関数の積分形でも表すことができます。
- Pは本来、ψ(q)には作用しないはずですが、波動関数の演算として置き換えると、-ih ∂ψ(q)/∂qとなり、ψ(q)にまともに作用しているように見えます。理解するのが難しいですね。
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線形作用素とシュレーディンガー表現
清水明著 新版量子論の基礎p117からの話なのですが、 一般化座標qに対応する演算子をQとして、 一般化運動量pに対応する演算子をPとします。 Q|q> = q|q> となります。さて状態ベクトルを |ψ> = ∫dq ψ(q)|q> と書くと、 Q|ψ> = ∫dq ψ(q)q|q> となるそうですが、ここで１つ目の疑問があります。 Qはψ(q)には全く作用しないと考えてよいのでしょうか？ 演算子Qは線形作用素だから、|q>のみに作用すると 考えるのでしょうか？ そうなりますと、 P|ψ> = ∫dq ψ(q)P|q> となるはずです。だから (QP-PQ)|ψ> = ∫dq ψ(q)(QP-PQ)|q> = ih ∫dq ψ(q)|q> と計算されます。これを波動関数の積分として眺めなおすと、 Q|ψ> という計算は qψ(q)になっている。 P|ψ> という計算は -ih ∂ψ(q)/∂q に対応させると (QP-PQ)|ψ> という演算は、ちゃんとih ∫dq ψ(q)|q>と計算できる。 つまり、|q> に演算子を作用させることは、実質的には ψ(q) にqをかけたり、qで偏微分したりすればよくなる。 気になるのはPはもともと線形作用素でψ(q)には作用しない はず（と理解しています）なのに、結局波動関数の演算に 置き換えたときには-ih ∂ψ(q)/∂q となってψ(q)にまともに 作用しているということです。どうもすっきりしません。 よろしくお願いします。
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>Qはψ(q)には全く作用しないと考えてよいのでしょうか？ >演算子Qは線形作用素だから、|q>のみに作用すると >考えるのでしょうか？ そうです。 >P|ψ> = ∫dq ψ(q)P|q> >となるはずです。 なります。 >気になるのはPはもともと線形作用素でψ(q)には作用しない >はず（と理解しています）なのに、結局波動関数の演算に >置き換えたときには-ih ∂ψ(q)/∂q となってψ(q)にまともに >作用しているということです。 荒っぽい説明ですが、 部分積分してやれば、|q>の微分をψ(q)の微分に書き換える事ができますよね。
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お礼
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