ポアンカレ予想 （ドーナツの分類）

質問

＃なんでM1，M2がみっつかというと
＃「球面」「ドーナツ」「穴が二個以上のドーナツ」という
＃二次元の図形の分類に従ってます．

すみません。お教え下さい。
「ドーナツ」「穴が二個以上のドーナツ」は、なぜ分類されるのでしょうか？

　＃　ｎが２以上で、なぜ、「穴がｎのドーナツ」は１つの分類なのでしょうか？

回答No.1

kabaokaba

多分，私が書いたものに対することだと思うので．
けど，せめて質問番号くらい書いてくださいな・・・

ものすごくものすごく大雑把な話です．
二次元の曲面のうち「尖がってないもの」ってのは
穴の個数で分類できます．
ですので別に「穴が2個以上」で一個の分類というわけではないですが，
話の流れによっては
「穴が2個以上」はひとまとめにできるというだけです．
何を「ひとまとめ」にするかは，文脈に依存するのです．

例えばですね，あんまりいい例ではない気もしますが，
微分積分を例にすると，
「一変数の微分積分」と「二変数以上の微分積分」は
話がまるでちがうのです．
ですんで，「微分積分」というと大抵は「一変数の微分積分」で，
二変数以上のときは「多変数解析」みたいな名前とか何か方法で
「変数が二個以上だぞ」ということを明言するわけです．
一個のとき，二個以上のときと，二つに分けて考えることになります．
けど別に，2変数，3変数，・・・が同じであるとはいっていないのです。

どこかを境界にして，「それ未満」と「それ以上」が
綺麗に分かれることってのはよくあります．
というか，ポアンカレ予想自体がそういう例で
高次元のケース，低次元のケースは前にクリアされてて
唯一残ってたのが今回のお話ですね．
＃他にも１，２，３次元がOK，５次元以上OKで４次元だけ不明
＃というようなものがちらほらあるはずです．

お礼

質問番号も記入せず大変失礼いたしました。

専門でないのでよく分かっておりませんが、ポアンカレ予想の場合には「穴が2個以上」はひとまとめにできるということ、理解しておきます。

ありがとうございました。