多めの分数式の計算

質問

『x+2／x　－　x+3／x+1　－　x-5／x-3　－　x-6／x-4、を計算せよ』（項の間の－はマイナスです）という問題で、ヒントに“（分子の次数）≧（分母の次数）⇒（多項式）＋（分数式）の形に変形”とあったのですが、このヒントの意味がわかりません。何も考えずただひたすら計算したのですが大変でした。どう扱ったらよいのでしょうか？

回答No.3

yhposolihp · ベストアンサー

>>P=[(x+2)/x]-[(x+3)/(x+1)]-[(x-5)/(x-3)]-[(x-6)/(x-4)]
　　=A-B-C-D

この式ではhintを使っても四つの１が相殺されないので煩雑さは解消できず、誤植と思われます。

(1)A-B-C-D　では分子は4次
(2)A+B-C-D では分子は4次
(3)A-B+C-D では分子は2次
(4)A-B-C+D では分子は1次　になると思います。（検算は、していないので。）

(4)のみ書いてみます。

Q=[(x+2)/x]-[(x+3)/(x+1)]-[(x-5)/(x-3)]＋[(x-6)/(x-4)]

　　　　　　[(x+2)/x]=1+[2/x]
　　　-[(x+3)/(x+1)]=-1-[2/(x+1)]
　　　　-[(x-5)/(x-3)]=-1+[2/(x-3)]
　　　　[(x-6)/(x-4)]=1-[2/(x-4)]

Q/2=[1/x]-[1/(x+1)]+[1/(x-3)]-[1/(x-4)]
　　=[ 1/{ x(x+1) } ]-[ 1/{ (x-3)(x-4) } ]
　　=[ { (x^2)-7x+12 }-{ (x^2)+x } ]/[x(x+1)(x-3)(x-4)]
　　=[ -8x+12 ]/[x(x+1)(x-3)(x-4)]
　　=[ -4(2x-3) ]/[ x(x+1)(x-3)(x-4) ]

Q=[ -8(2x-3) ]/[ x(x+1)(x-3)(x-4) ]

>>何も考えず・・・大変でした。
もし、問題が（４）だとしたら、どの順で計算したのか判りませんが、hint/定跡を使わなくても、４項の組合せを考慮すると、そんなに煩雑にはならないと思います。

Q=[(x+2)/x]-[(x+3)/(x+1)]-[(x-5)/(x-3)]＋[(x-6)/(x-4)]
　=[　{　(x^2)+3x+2-(x^2)-3x　}/{x(x+1)}　]
　　-[　{　(x^2)-9x+20-(x^2)+9x-18　}/{(x-3)(x-4)}　]
　=[　2/{x(x+1)}　]-[　2/{ (x-3)(x-4)}　]

Q/2=[　1/{x(x+1)}　]-[　1/{ (x-3)(x-4)}　]
　　=[(x^2)-7x+12-(x^2)-x]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]
　　=[-8x+12]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]
　　=[-4(2x-3)]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]

Q=[-8(2x-3)]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]

お礼

回答ありがとうございます。
すみません、問題間違えておりました。
最後の項の符号が、－x-6／x-4ではなく＋x-6／x-4でした。
ですが、大変参考になりました。ありがとうございます。

回答No.4

info22

#2です。
#3さんも言っておられますが、多分問題が間違っている可能性が大です。
通常、４つの分数式の加減算の場合、互いに相殺して計算式が簡単になります。

A#3でお書きした
＞　(x+2)/x=1+(1/x)
＞　(x+3)/(x+1)=1+{2/(x+1)}
＞　(x-5)/(x-3)=1-{2/(x-3)}
＞　(x-6)/(x-4)=1-{2/(x-4)}
の定数項が打消してなくなる、つまり、分数式の２つが「＋」、
２つが「－」でないと式が定数の「1」が差し引きされて消えません。
その結果、最終的な式が簡単になりません。
ということで、回答は
＞　与式=1+(1/x)-1-{2/(x+1)}-1+{2/(x-3)}-1+{2/(x-4)}
＞　=-2+[(1/x)-{2/(x+1)}]+[{2/(x-3)}+{2/(x-4)}]
＞　と変形するいうヒントですね。

でとどめました。
問題が正しければ、先頭の「-2」がなくなり、
残りの分子が定数の4つの分数式も２つが「＋」、２つが「－」をなって
「＋」と「－」の項を組合せて計算すれば、分子の式が簡単になって
計算が楽に出来て行きます。

質問者さん、問題があっているか、間違っていないか、調べてもらえませんか？

もし、そうであれば、上記の方針で計算すれば、比較的楽に計算ができるはずです。またA#3も参考にして、比較してみてください。最初に、１を分離しておくと、ヒントにあることの意味がわかると思います。

補足に問題の正誤と、間違いであれば、訂正した式で上記のやり方での
解答を補足に書いていただけませんか？

お礼

返信遅れてすみません。
回答ありがとうございます。
そしてすみません。おっしゃるとおり問題を間違っておりました。
最後の項が－x-6／x-4ではなく＋x-6／x-4でした。すみません。
ご回答参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

info22

>（分子の次数）≧（分母の次数）⇒（多項式）＋（分数式）の形に変形
この意味する所は

(x+2)/x=1+(1/x)
(x+3)/(x+1)=1+{2/(x+1)}
(x-5)/(x-3)=1-{2/(x-3)}
(x-6)/(x-4)=1-{2/(x-4)}
とするという事です。

与式=1+(1/x)-1-{2/(x+1)}-1+{2/(x-3)}-1+{2/(x-4)}
=-2+[(1/x)-{2/(x+1)}]+[{2/(x-3)}+{2/(x-4)}]
と変形するいうヒントですね。

お礼

返信遅れてすみません。
回答ありがとうございます。
なるほどでした。大変参考になりました。

回答No.1

peeea

x+3／x+1 = {(x+1)+2}／x+1
=x+1／x+1 + ・・・

これを全ての項に使うと・・・？

お礼

返事遅れてすみません。
回答ありがとうございます。大変参考になりました。