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多めの分数式の計算

『x+2/x - x+3/x+1 - x-5/x-3 - x-6/x-4、を計算せよ』(項の間の-はマイナスです)という問題で、ヒントに“(分子の次数)≧(分母の次数)⇒(多項式)+(分数式)の形に変形”とあったのですが、このヒントの意味がわかりません。何も考えずただひたすら計算したのですが大変でした。どう扱ったらよいのでしょうか?

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回答No.3

>>P=[(x+2)/x]-[(x+3)/(x+1)]-[(x-5)/(x-3)]-[(x-6)/(x-4)]   =A-B-C-D この式ではhintを使っても四つの1が相殺されないので煩雑さは解消できず、誤植と思われます。 (1)A-B-C-D では分子は4次 (2)A+B-C-D では分子は4次 (3)A-B+C-D では分子は2次 (4)A-B-C+D では分子は1次 になると思います。(検算は、していないので。) (4)のみ書いてみます。 Q=[(x+2)/x]-[(x+3)/(x+1)]-[(x-5)/(x-3)]+[(x-6)/(x-4)]       [(x+2)/x]=1+[2/x]    -[(x+3)/(x+1)]=-1-[2/(x+1)]     -[(x-5)/(x-3)]=-1+[2/(x-3)]     [(x-6)/(x-4)]=1-[2/(x-4)] Q/2=[1/x]-[1/(x+1)]+[1/(x-3)]-[1/(x-4)]   =[ 1/{ x(x+1) } ]-[ 1/{ (x-3)(x-4) } ]   =[ { (x^2)-7x+12 }-{ (x^2)+x } ]/[x(x+1)(x-3)(x-4)]   =[ -8x+12 ]/[x(x+1)(x-3)(x-4)]   =[ -4(2x-3) ]/[ x(x+1)(x-3)(x-4) ] Q=[ -8(2x-3) ]/[ x(x+1)(x-3)(x-4) ] >>何も考えず・・・大変でした。 もし、問題が(4)だとしたら、どの順で計算したのか判りませんが、hint/定跡を使わなくても、4項の組合せを考慮すると、そんなに煩雑にはならないと思います。 Q=[(x+2)/x]-[(x+3)/(x+1)]-[(x-5)/(x-3)]+[(x-6)/(x-4)]  =[ { (x^2)+3x+2-(x^2)-3x }/{x(x+1)} ]   -[ { (x^2)-9x+20-(x^2)+9x-18 }/{(x-3)(x-4)} ]  =[ 2/{x(x+1)} ]-[ 2/{ (x-3)(x-4)} ] Q/2=[ 1/{x(x+1)} ]-[ 1/{ (x-3)(x-4)} ]   =[(x^2)-7x+12-(x^2)-x]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]   =[-8x+12]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]   =[-4(2x-3)]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ] Q=[-8(2x-3)]/[ { x(x+1)(x-3)(x-4)} ]

i-tad
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 すみません、問題間違えておりました。 最後の項の符号が、-x-6/x-4ではなく+x-6/x-4でした。 ですが、大変参考になりました。ありがとうございます。

その他の回答 (3)

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.4

#2です。 #3さんも言っておられますが、多分問題が間違っている可能性が大です。 通常、4つの分数式の加減算の場合、互いに相殺して計算式が簡単になります。 A#3でお書きした > (x+2)/x=1+(1/x) > (x+3)/(x+1)=1+{2/(x+1)} > (x-5)/(x-3)=1-{2/(x-3)} > (x-6)/(x-4)=1-{2/(x-4)} の定数項が打消してなくなる、つまり、分数式の2つが「+」、 2つが「-」でないと式が定数の「1」が差し引きされて消えません。 その結果、最終的な式が簡単になりません。 ということで、回答は > 与式=1+(1/x)-1-{2/(x+1)}-1+{2/(x-3)}-1+{2/(x-4)} > =-2+[(1/x)-{2/(x+1)}]+[{2/(x-3)}+{2/(x-4)}] > と変形するいうヒントですね。 でとどめました。 問題が正しければ、先頭の「-2」がなくなり、 残りの分子が定数の4つの分数式も2つが「+」、2つが「-」をなって 「+」と「-」の項を組合せて計算すれば、分子の式が簡単になって 計算が楽に出来て行きます。 質問者さん、問題があっているか、間違っていないか、調べてもらえませんか? もし、そうであれば、上記の方針で計算すれば、比較的楽に計算ができるはずです。またA#3も参考にして、比較してみてください。最初に、1を分離しておくと、ヒントにあることの意味がわかると思います。 補足に問題の正誤と、間違いであれば、訂正した式で上記のやり方での 解答を補足に書いていただけませんか?

i-tad
質問者

お礼

返信遅れてすみません。 回答ありがとうございます。 そしてすみません。おっしゃるとおり問題を間違っておりました。 最後の項が-x-6/x-4ではなく+x-6/x-4でした。すみません。 ご回答参考になりました。ありがとうございます。

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

>(分子の次数)≧(分母の次数)⇒(多項式)+(分数式)の形に変形 この意味する所は (x+2)/x=1+(1/x) (x+3)/(x+1)=1+{2/(x+1)} (x-5)/(x-3)=1-{2/(x-3)} (x-6)/(x-4)=1-{2/(x-4)} とするという事です。 与式=1+(1/x)-1-{2/(x+1)}-1+{2/(x-3)}-1+{2/(x-4)} =-2+[(1/x)-{2/(x+1)}]+[{2/(x-3)}+{2/(x-4)}] と変形するいうヒントですね。

i-tad
質問者

お礼

返信遅れてすみません。 回答ありがとうございます。 なるほどでした。大変参考になりました。

  • peeea
  • ベストアンサー率57% (31/54)
回答No.1

x+3/x+1 = {(x+1)+2}/x+1 =x+1/x+1 + ・・・ これを全ての項に使うと・・・?

i-tad
質問者

お礼

返事遅れてすみません。 回答ありがとうございます。大変参考になりました。

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