分数の一次方程式の解き方

質問

分数を含んだ一次方程式の解き方について質問です。

全ての分母の最小公倍数を全ての項に掛けて解くというのは分かります。

練習問題を解こうとして躓いてしまったのが
分母にｘがある場合です。

解き方がよく分からなかったので、
ｘを含まない項のみを解いたら

最終的に
(1)5/x=5/4
(2)3/x+2=2/4
という形になりました。（2問です）

で、ここからどう解こうと悩んでいてパッと右と左を見比べ
(1)x=4
(2)x=2と答えを出せました。
単純に右の分母と左の分母が同じになればいいんだという解釈の仕方をしました。
（分子が一緒でしたので）

で、答え自体はあっていた物の解説を見て
例えば分母がxと７だったら７ｘを掛ける

分母がx+2,3,5だったら15(x+2）を掛けると知り納得しました。
（そもそもxを最小公倍数の中に含めるという考えが思いつきませんでした）

で、質問なのですが
私の解き方は、たまたま簡単な問題だったから解けただけでしょうか？
（たまたま分子が同じだったので、解けただけとも思っています。分子が違っていたら、解けなかっただろうし）

よく親から、あんたはなんで変な考え方するの？とか
ややこしい考え方してるとか言われるのですが

逆に親から教えてもらう、一番正攻法な解き方が理解は出来ても
自分にはややこしく感じたりすることが多々あります。

なもんで、未だに独自の考え方で問題を解いてしまうところがあるので、気になり質問させて頂きました。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>質問なのですが
>私の解き方は、たまたま簡単な問題だったから解けただけでしょうか？
>（たまたま分子が同じだったので、解けただけとも思っています。
>分子が違っていたら、解けなかっただろうし）

>最終的に
(1)5/x=5/4
(2)3/(x+2)=2/4

等式だから、
[1] 両辺に何を掛けても
[2] 両辺を何で割っても
[3] 両辺に何を加えても
[4] 両辺から何を引いても
[5] 両辺の逆数をとっても
[6] 左辺と右辺を交換しても
成立します。

等式の変形では、以上の6通りの等式を性質を使って式を簡単化します。
質問者さんには[5]の性質を使う発想が抜け落ちていませんか？
この性質を使えば

(1)5/x=5/4 のような場合
両辺の逆数をとって　x/5=4/5
両辺に5を掛けて　x=4

もし
　3/x=4/5 のような分子が等しくない場合も
両辺の逆数をとって　x/3=5/4
両辺に3を掛けて　x=15/4
とxを求めることができます。

(2)3/(x+2)=2/4のような場合
両辺の逆数をとって　(x+2)/3=4/2=2 ←2で約分
両辺に3を掛けて　x+2=6
両辺から2を引いて　x=4
とxを求めることができます。

3/(4x-1)=2/5のように分子が異なりxにも4がかかっている場合
両辺の逆数をとって　(4x-1)/3=5/2
両辺に3を掛けて　4x-1=15/2
両辺に1を加えて　4x=15/2+1=17/2
xの係数の4で両辺を割って　x=17/8

とxを求めることができます。
なお、答えは整数と限りません。分数になる場合もあり、
そのような場合、あなたが両辺をよく見て偶然xを見つけることは難しいですね。

お礼

回答ありがとうございます。

逆数の意味が分からず、調べてみましたが
対数か集合だったか、何かのところで、逆数を使っていました（知らず知らずのうちに）。
そのときは結構理解するのに時間がかかったのですが、
調べてみて、「あれを逆数というのか」という感じです。

参考になりました。

回答No.4

bgm38489

(2)は、分子が一緒ではありませんね。3/（x+2）と2/4ですから、３と２です。
これを、分子が同じになるように揃えたら、２/４は３/６としなければいけません。すなわち、X+2＝６でＸ＝４。

数学には、正攻法で解くより、工夫したやり方で解いたほうが簡単な場合がよくあります。ただし、学校の試験で正攻法以外のやり方を使うと、先生によっては△、×になることがよくあります。僕も高一のとき、ちょっと変わった因数分解を、公文式で小5のときに習ったやり方で解いたら、答えがあっているにもかかわらず、×をもらったことがあります。そんな解き方はない、偶然だといわれたりしましたね。

ただ、正確に言えば、Ｘ＋２をかけるというときは、ｘ＝ー２でないとすると、という断りを入れなくてはなりません。分母が0になるからです。結果的に、Ｘ＝－２という答えが出てくれば、その答えは不適です。未知数などをかけたり割ったりする場合、厳密には分母が0でないことを検討しなければいけません。その意味では、君のやり方の方が理路整然。

お礼

回答ありがとうございます。

確認漏れがあったようで
正しくは3/(X+2)=3/4です。失礼しました。

回答No.3

ORUKA1951

まず順当に解いて見ます。
(1) 5/x = 5/4
　　本来の形に直します。掛け算は紛らわしいので*で表します。
　　5 * (1/x) = 5 * (1/4)
　　両辺にxを掛けます。
　　(5 * (1/x)) * x = (5 * (1/4)) * x
　　両辺に4を掛けます。
　　(5 * (1/x)) * x * 4 = (5 * (1/4)) * x * 4
　(交換則)
　　5 * 4 * (1/x) * x = 5 * (1/4) * 4 * x
　　　　　　20　　　　=5 * x
　　両辺に(1/5)を掛けます。
　　20 * (1/5) = 5 * x * (1/5)
　(交換則)
　　20 * (1/5) = 5 * (1/5) * x
　　4 = x

(2)3/x+2=2/4　　　3/(x+2) = 2/4 としたら答えは変わります。!!
　　　　　　式どおりなら、次のようになります。
　　・・・説明なしで解いて行きます。
　　3 * (1/x) + 2 = 1/2
　　3 * (1/x) + 2 + (-2) = (1/2) + (-2)
　(交換)
　　3 * (1/x)　　 = (1/2) + (-2)
　　3 * (1/x)　　 = (1/2) + (-4/2)
　　3 * (1/x)　　 = (1 + (-4))/2
　　3 * (1/x)　　 = -3/2
　　3 * (1/x) * x = (-3/2) * x
　　3 　　　　　　= (-3/2) * x
　　3 * (-2/3)　　= (-3/2) * x * (-2/3)
　(交換)
　　3 * (-2/3)　　= (-3/2) * (-2/3) * x
　　　　(-2)　　　= 　　　1　　　　 * x
　　　　 -2 　　　= x
　　検算
　　　3/(-2)+2=2/4
　　　-3/2 + 2 = 1/2
　　　(4-3)/2 = 1/2
　　　　　1/2 = 1/2

中学校で学ぶ大事なこと!!
1) 数の拡張で負数、逆数(分数)を導入することで、引き算は足し算、割り算は掛け算となること
　1 - 2 は「小さい数から大きい数引けない」ので計算できないけど　(-2) + 1 は計算できる。
　1/3 は割り切れないが、(1/3)という数字として考える。
　　　2÷3 = 2/3 = 2 ×(1/3)
2) これによって、
　　(交換)
　　　2 - 3 ≠ 3 - 2 ----> 2 + (-3) = (-3) + 2
　　　2 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 2 ----> 2 ×(1/3) = (1/3) × 2
　　(分配)
　　　(-2)×(3 + 4) = (-2)×(3) + (-2)×4
　　(結合)
　　　(-2)×(3) + (-2)×4 = (-2)×(3 + 4)

　の関係が、その数が分からない未知数についても成り立つ

★その上で、= の両辺に同じ加減乗除しても関係が変わらない
　　-2x = 3
　　　両辺に (-1/2)を掛けても
　　2x × (-1/2) = 3 × (-1/2)
　　　x = -3/2

　これが、中学校で学ぶ数学のすべてとも言っても良いかも・・

改めて、計算過程を見直そう。

お礼

回答ありがとうございます。

割り算を/で表す時点で気づくべきでしたが
3/(x+2）が正しい表記です。

指摘されるまで気づきませんでした。

失礼しました。

回答No.2

spring135

(2)は間違いです。

正しくは

3/(x+2)=2/4=1/2

両辺にx+2を掛ける。

3=(x+2)/2

両辺に2を掛ける。

6=x+2

x=4

>私の解き方は、たまたま簡単な問題だったから解けただけでしょうか？

簡単な問題すら解けていません。

思いつきは勉強ではありません。

まずは正攻法、王道を行くことです。

正攻法を極めたら「搦め手」もありですが、正攻法を極めていない人が思いついた方法はよほど簡単なものにしか使えません。

最も怖いのは、落とし穴のある問題です。正攻法は落とし穴にも対処できますがそうでない方法は無力です。

中学校の定期試験ぐらいは好き勝手やっても点になることがあるでしょうが、正攻法を知らない人には高校入試は苦戦が予想されます。

補足

回答頂きありがとうございます。

が、答えはx=4ではありません。
（x=2で合っています。教科書にそう書いてます）

私の頭が悪いので、spring135さんがどう理解されたかが分かりませんが
質問文に書いたのは途中式です。

また、実際は括弧ついてないので書き忘れましたが
こういう文章で書き記す場合には、3/(x+2)とするべきでした。
すみません。