分数の計算です。

質問

分数の計算で、分母を消して計算する方法があると思うのですが、消し方がわかりません。
例えば、
２８０×１０/１００＝（ｘ＋２８０）×１０/１００
という問題で、分母の１００を消す場合、どうすればいいのでしょうか？全体に１００をかけるということはわかるのですが、全体って・・・わかりません。
どなたかわかる方お願いします。

回答No.2

marth · ベストアンサー

方程式の解を求めるときは、左辺と右辺に同じ数字を加減乗除することがあります。

これは、方程式は左辺と右辺が同じ値であることから、同じ値で書き方が違うだけのＡとＡ’（例えば６と（２＋４））に同じ数字Ｂ（例えば３）を加減乗除（＊）しても同じ数字になることは、明らかだと思います。

（＊）加減乗除
・Ａ＋Ｂ＝Ａ’＋Ｂ
・Ａ－Ｂ＝Ａ’－Ｂ
・Ａ×Ｂ＝Ａ’×Ｂ
・Ａ÷Ｂ＝Ａ’÷Ｂ
・Ｂ÷Ａ＝Ｂ÷Ａ’

さて、質問の「全体に１００をかける」というのは、この左辺、右辺のそれぞれに１００をかけることを指します。
つまり、上で言うＡを左辺全体、Ａ’を右辺全体、Ｂを１００として、上のかけ算の操作をすることになります。
（イメージとして、いったん左辺と右辺を括弧でくくった上で、１００をかけると思うとわかりやすいと思います。）
このとき、分配則がありますから、括弧を展開することができ、各項（足し算、引き算で結ばれている各部分のこと）に１００をかけることと同じ（＃）になるので、「全体に１００をかける」という言葉遣いをしているのだと思います。

（＃）（Ｐ＋Ｑ）×100　＝　Ｐ×100＋Ｑ×100

補足

朝から詳しい解説をどうもありがとうございました。
あまりにも難しくて最初はちょっとわからなかったのですが、
（＃）（Ｐ＋Ｑ）×100　＝　Ｐ×100＋Ｑ×100
この式でわかりました。全部に一つ一つ１００をかけるんですね。でも、この間習ったときに、なぜか分母を払った後の続きがこうなってました。
２８００＝８ｘ＋２２４０
一つ一つかけたら２８００は２８００００になりませんか？
ｘも８ｘではなくて８００ｘになるとおもうのですが・・・どうしてでしょうか？？？
いったいどこに分母の１００をかけるのですか？
分数にだけかけるのですか？？？
できれば質問した式を使って、詳しい計算式を教えてください。お願いします。(＿ ＿〃)

回答No.8

secretd

もうちょっと付き合おうかな．#2さんの補足に補足する感じで．
分配法則は，#2さんが書いてるとおり，
Ｐ（Ｑ＋Ｒ）＝ＰＱ＋ＰＲ
というものですね．一方，
（２８０×１０）÷１００×１００
という式は，掛け算式が連続している式（乗算と除算は等価でしたね）です．ですから，これは分配法則は使えなくて，
２８０×１０÷１００×１００
と同じことになります．これは，いわゆる交換法則というもので，
Ｐ×Ｑ×Ｒ＝（Ｐ×Ｑ）×Ｒ＝Ｐ×（Ｑ×Ｒ）
というものです．掛け算式のみならば，括弧は好きにつけてもいいし，はずしてもいいということです．

これをもとにして分母を払う部分をやると，
→　２８０×１０/１００＝（ｘ＋２８０）×８/１００
両辺に１００をかける
→　２８０×１０/１００×１００＝（ｘ＋２８０）×８/１００×１００
/１００×１００の部分は1だから消えて，
２８０×１０＝（ｘ＋２８０）×８

お礼

ありがとうございました。
やっぱり今の私には理解ができないみたいです。。。

回答No.7

secretd

No.６への補足．
この式は，両方とも分母が１００である分数式になってますね？
で，分母が同じである２つの数が等しいなら，分子が等しくないといけないわけです．
#2さんも書いてますが，
Ｐ÷Ｑ＝Ｒ÷Ｑ　←→　Ｐ＝Ｒ
ということですね．
というわけで，「分母を払う」ことができるのです．
とはいえ，質問主さんがおいくつなのか知りませんが，もう少し方程式を一般的に解けるように，練習をつんだほうがいいですね．

お礼

すみませんでした。何度も回答いただいて・・・
確かに、
＞とはいえ，質問主さんがおいくつなのか知りませんが，もう少し方程式を一般的に解けるように，練習をつんだほうがいいですね．
ｓｅｃｒｅｔｄさんのおっしゃるとおりです。
私は、方程式というものを習ったことがなかったので、最近勉強する機会がるのですがあまり良くわかっていなかったです。
でも、解らないのでこういう書き方をされても理解ができないんですよ。（バカなので・・・すみません）
なので、本当は詳しく式にして頂いたり、解りやすく噛み砕いたりしていただけると嬉しかったのですが。
まぁ、そんなにわがままを言ってはいけませんよね。
私が悪かったです。謝ります。

それから、この質問に答えていただいた皆様、朝から本当にどうもありがとうございました。
問題の式も間違えていたみたいで・・・本当に申し訳ありませんでした。
なので、締め切らせていただくことにします。
間違いを指摘してくださったｓｅｃｒｅｔｄさん、本当にありがとうございました。あなたに指摘していただいていなかったら、気付かずにいました。ありがとうございました。

回答No.6

secretd

質問主さんの式がそもそも違いますやん．
右辺は，水を入れた後，8%になることを言わないといけないから，
２８０×１０/１００＝（ｘ＋２８０）×８/１００
ですよね？？？
そうだとすると，
両辺の分母の１００を払って，
２８０×１０＝（ｘ＋２８０）×８
分配法則より
２８００＝８ｘ＋２２４０
移項して
８ｘ＝５６０
ｘ＝７０
とちゃんとでますね．

お礼

朝からの解答ありがとうございました。
そうでした。すみません。。。
式自体間違えてましたね。
すみませんでした、本当に・・・
間違った箇所を教えていただきありがとうございました。
でも、私が知りたいのは分母を払うときにどのようになって分母が結果的に払われるのか？というところだったんです。
本当にご迷惑をおかけしました。
ありがとうございました。

回答No.5

yosshy_yosshy

(念のために)この式はわざわざ最初に100をかけなくても、簡単に解けますよね^^;難しく考える必要はなく、簡単な形に整理してから、両辺にいくらかをかけたり、割ったりする方が賢明では？
280×10/100＝(X＋280)×10/100
280×1/10=(X＋280)×1/10・・・分数を約分した
28=X/10+28・・・かっこを展開でけした
0=X/10+28-28・・・左辺(イコールの左)の28を右辺に移動
0=X/10・・・28-28を計算した
0=X・・・両辺を10倍した

如何でしょうか？

お礼

朝から質問に答えていただきありがとうございました。
Ｘ＝０ですか？？？
この問題の答えはＸ＝７０になるのですが・・・
そもそも、この問題は塩水計算の問題でして・・・
１０％の塩水２８０ｇを８％の塩水にするにはどのくらい水を加えればよいか？
という問題から式を作ったのです。
で、途中で分母を払うのがわからなくなってしまって・・・
でも、Ｘ＝０ではないんですけど。。。
すみません、違っていたら。。。

回答No.4

marth

No.3の第３段落の括弧書きの部分の日本語がおかしいので修正します。

（かけ算でつながっている部分は一つながりとかんがえるため、この場合の左辺は全体で１つの項と考えます。：実は右辺も足し算がありますが、括弧でくくられているため、別の項とは見ないで１つの項と考えます。）

回答No.3

marth

No.2です。

補足と言うことで、左辺についてどういうことか説明しましょう。

280×10/100の全体に100をかけるとは、「（280×10/100）×100」ということです。（かけ算でつながっている部分は項ではないので、左辺は全体で１つの項と考えます。：実は右辺も足し算がありますが、括弧でくくられているため、別の項とは見ないで１つの項と考えます。）

したがって、
　　（280×10/100）×100＝280×10/100×100＝280×10＝2800
となります。

「全体に」に意味が出てくるのは、例えば、
　　x/8 + 5 = x/6 +4
のようなときで、
　　(x/8 + 5) × 24 = (x/6 +4) × 24
　　x/8 × 24 + 5× 24 =x/6 × 24 +4 × 24　　（＊）
　　（以下略）
この（＊）は最初の式の各項「全て」に２４を掛けているので、「全体に」という言葉に意味が出てくるわけです。

補足

何度も回答ありがとうございました。
結局のところ、こういうことですか？？？
　　　２８０× １０ ×１００
(1)　―――――――――　と考えていいのですか？
　　　　１　×１００×　１
↑は分数です。

私は、
　　　２８０×１００　 　 １０ ×１００
(2)　――――――×―――――という風に・・・
　　　　１　×　１　　 　１００×　１
両方に１００をかけるものだと思ったんですが。
でも、(1)のほうが計算しやすいですよね。(2)みたいに一つ一つに１００をかけるのも面倒ですし・・・
でも、問題の＝の右側は(2)のように一つ一つかけるんですよね。↓
　ｘ　×１００　　２８０×１００　　　　８　×１００
―――――×――――――×――――――
　１　　　１　　　　１　×　１　　　　１００×　１
なぜ＝の左側と一緒の計算式にしてはいけないんでしょうか？（問題によって、計算の仕方は変わるのでしょうか？）そもそも、どちらのやり方（(1)、(2)両方のかけ方）でも、答えは一緒ですよね。一つ一つにかけても両方を一つと考えて１００をかけても答えは一緒だったら、両方をひとつと考えて１００をかけてもいいのでは？？？もしかして、そういう考えだと他の問題が出たときに正確な解答が得られないのですか？
もし、そうでないのなら、私は(1)の様なやり方で分母を消したほうが面倒臭くなくていいのですが。。。
何度も、質問してすみません。疑問が増えてしまったのでもう一度だけよろしければお答えしていただけませんでしょうか？
迷惑でしたら結構ですので。。。

回答No.1

youkisara

右側にも左側にもどちらにも100をかけるという意味です。

補足

朝からどうもありがとうございました。
あの、もうひとつ質問なんですが。
それだけでは意味がわからないので教えてください・・・
この間習ったときに、なぜか分母を払った後の続きがこうなってました。
２８００＝８ｘ＋２２４０
全部にかけたら２８００ではなく２８００００になりませんか？
ｘも８ｘではなくて８００ｘになるとおもうのですが・・・
いったいどこに分母の１００をかけるのですか？
分数にだけかけるのですか？？？
できれば詳しい計算式を教えてください。お願いします。(＿ ＿〃)