買い物でおつりがでないことの証明

質問

すごく私的な好奇心というか、はたから見たらくだらない問題かもしれないのでヒマがあったら回答してください。

実は、私は買い物に出かけるときに1円とか10円とかのおつりを貰うのがイヤなので、常にお札の他に99円（1円玉4枚、5円玉1枚、10円玉4枚、50円玉1枚）を入れて出かけます。

すると、当たり前なのですがいかなる場合においても100円以下の硬貨（50、10、5、1円玉）をおつりとして貰うことはありません。「当たり前」とは感覚的には分かっているのですが、それを証明してみろといわれも、、、という感じです。

これを数式で証明するとどうなるのでしょうか？もしかしたら、これを証明するのにも色々な方法があるのかもしれませんが、どのように説明できるのかとっても興味があります。

回答No.1

k_maisan · ベストアンサー

考え方は「2-5進法」と呼ばれる、そろばんなどで使われている10進数の数えかたのひとつですね。

以下、証明というほどのものでもないのですが…

まず1の位だけ考えます。

1の位が0のときが1円玉も5円玉も使わなくて払えます。
1円～4円のとき1円玉1枚～4枚で払えます。
5円のとき5円玉1枚で払えます。
6円以上は、6=5+1、7=5+2、8=5+3、9=5+4、というように考えると、9円までは1円玉4枚と5円玉1枚で全て払えます。
これで1の位が0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の全ての場合において1円玉4枚と5円玉1枚で全て払えます。

10の位については、1円玉を10円玉に、5円玉を50円玉にすれば全く同じように考えられます。
これで10の位が0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の全ての場合において10円玉4枚と50円玉1枚で全て払えます。

100円以下の金額は上の2つの組み合わせで全て表わせます。
よって、100円以下の金額が0円～99円の全ての場合において、1円玉4枚、5円玉1枚、10円玉4枚、50円玉1枚で払うことができます。

参考URL：

http://www.sophia-it.com/content/2-5%E9%80%B2%E6%B3%95

お礼

回答ありがとうございます。

「なるほど、納得した」としか言いようがないほどのきれいな説明ですね。たしかにこのように説明されるとなぜ99円でおつりがでないのかということが論理的に分かりますね。

そういえば、そろばんは大の苦手でしたねぇ。。。

回答No.3

hiro1122

（証明）
買い物金額の１００円以上の金額に対する支払いはおつりが必ず１００円以上になります。買い物金額の１００円未満の金額に対する支払いは小銭で用意できます。以上により、１００円未満のおつりを貰うことはありません。（証明終）

証明するのに加減乗除を必要としないため、数式にする必要がありません。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、私はてっきりえらく難しい数式を用いて証明することができるのかと思いましたが、そういうものではないのですね。

回答No.2

Ishiwara

一般に証明の方法はいろいろあり、どれを使っても論理的に正しければいいのです。

あなたは、ご自分の方法について、
(1) 正しいという確信がありますか、それとも
(2) 経験的に「どうやら正しそうだ」と推測しているのですか

もし(1)であれば、その確信を第三者に分かるように述べることを工夫してみてください。それが証明です。

お礼

回答ありがとうございます。

難しい話ですが、要するに自分の中にある確信を自分以外の人に伝わるように書きなさいということですね。単純なことでもいざ文章で論理的に説明するとなると難しいのですから、数学科などにいった人はやはりそういう点ではすごいですね。