指数と対数を含んだ式の変形

質問

こんにちは。今、数学の問題で悩んでいます。
x^2-x^2*lnx=Aをx=の式に変形したいのですが
やり方がわかりません。（x:変数, A:定数）
ご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22

初等関数の範囲では一般的には解けません。
Aが特殊な場合
A=0の場合は x=e ,0 で解けます。
ここで、eはネピア（ネイピア）数（自然対数の底）です。
A≠0に対してはx=f(A)の形では初等関数を使って表す子とはできません。

参考）初等関数の範囲では解けませんが
Aの任意の実数値に対して ｘの実数値は数値計算では求められる。
初等関数を使っては x=f(A)の形式に表せない。
特殊関数「LambertのW(x)関数」を使えば表される。
→x=f(A)=e^[(1/2)LambertW(-2A/e^2)+1]
ということです。
ランベルトのW関数については以下を参照のこと。
http://dl.cybernet.co.jp/matlab/support/manual/r14/toolbox/symbolic/?/matlab/support/manual/r14/toolbox/symbolic/lambertw.shtml

補足

有難うございます。
自分なりに試行錯誤、式の変形を行ったのですが、
x=f(A)=e^[(1/2)LambertW(-2A/e^2)+1]
にたどり着けませんでした。

また、実際に解きたい式は
x^2-B*x^2*lnx=A
です。(A,B:定数)
どのように解いたらよいのでしょうか。
途中計算を教えていただけませんでしょうか。
以下に自分の式変形過程を示します。
ご指導をいただけたら幸いです。

両辺をx^2で割ると
1-B*ln(X)=A/x^2

ln=に変形整理すると
ln(x)=1/B-A/(B*x^2)

X=に変形すると
x=exp(1/B-A/(B*x^2))

expを分けると
x=exp(1/B)*exp(-A/(B*x^2))

xを含んだexpを左辺に移動すると
exp(-A/(B*x^2))=x/exp(1/B)

両辺に-A/(B*x^2)をかけると
-A/(B*x^2)*exp(-A/(B*x^2))=-A/(B*x)/exp(1/B)

上記の式をW関数に適応すると
-A/(B*x^2)=w(-A/(B*x)/exp(1/B))

最後、X=の式に変形する。