ポアンカレ予想

質問

10月22日のテレビ番組で、このポアンカレ予想の問題を見ました。地球からロケットに乗り、そのロケットに長い長いロープを付けて、宇宙のありとあらゆる所を旅行する設定です。そして、旅行が終わり地球に辿り着いた時、手元にはロープの始まりと終わりの両端があります。そのロープの両端を持ったまま離さないで、ロープ全体を手元に引き寄せます。そして、ロープが全て手元に引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか、という問題でした。宇宙が仮にドーナッツ形であれば、ロープは穴に引っかかって引き寄せられません。
トポロジーでは、形は自由に伸ばしたり縮めたり出来、その様に加工して同じ形になれば、同じ形と考えます。球体・円錐・三角錐・円柱・立方体も全て同じ形と考え、この問題ではおおむね丸い形であると定義します。球体をいくら伸ばしたり縮めたりしても、穴が無いので、ドーナッツ形にはなりません。この問題は、球体以外の形で、内部にロープをありとあらゆるコースを辿って張り巡らせ、その両端を離さずに引っ張って全てを回収できる形があるかということを言っています。
これは、物の形をテーマにしています。物の形には有限のパターンがあるか、それとも無限にパターンがあるのかが焦点になります。パターンが有限であれば、一つ一つのパターンについて、ロープが手元に回収出来るか調べれば、球体以外に回収できる形が有るか否か証明できます。物の形には、無限のパターンがあるとしたら、証明は不可能となります。
物には色々な形が有ります。ドーナッツ形も在れば、穴の2つ3つのドーナッツ形や、ドーナッツの途中に１つの結び目のある形、または2つ3つの結び目のある形とさまざまな形があります。それらの形はいくら伸ばしたり縮めたりしても、球体にはなりませんので、おおむね丸い形ではないと言えます。そうして見ると、形のパターンは無限とも思えます。
そこで、この問題では、ロケットに付けたロープを長い円柱形と考えてみましょう。ドーナッツ形は、ロープ（＝円柱形）の両端をくっ付けた形です。ドーナッツの途中に１つの結び目のある形は、ロープで１つの結び目を作り、両端をくっ付けた形です。円柱形のロープをいろんな風にぐるぐると絡ませた上で、その両端をくっ付けることで、異なる形を作ることが出来ます。（ロープの途中をくっ付けることは、トポロジーでは両端をくっ付けること同じです。くっ付けたところから先を、縮めて無くしてしまえばいいのです。複数個所をくっ付けて穴を複数にすることは、穴１つの形の集まりと考えることが出来ます。）
そのロープの絡ませ方で異なる形になり、その絡ませ方は無限です。しかし、ロープの両端をくっ付けない限り、そのロープは複雑に曲がりくねってはいますが円柱形であり、伸ばしたり縮めたりすれば、結局球体になります。ロープの両端をくっ付けて初めて、球体とは別の形になるのです。
円柱のロープの中心に、一本の赤い紐があるとします。円柱のロープの両端をくっ付けてしまうと、途中でどの様にぐるぐるとロープを絡ませても、中心にある赤い紐の両端を離さずには、赤い紐全てを引き寄せることは出来ません。ロープの両端をくっ付けない時のみ（＝球体である時のみ）、赤い紐の両端を離さずに引っ張って、赤い紐全てを手元に引き寄せられます。従って、赤い紐を全て手繰り寄せられた時は、ロープの両端はくっ付けられておらず、ロープは複雑に入り組んだ円柱形であり、おおむね丸い形であると言えます。
この問題では、ロケットに取り付けたロープそのものが、宇宙の形を表現しているのです。いろんな形を作るには、無限にあるコースの１つをロープ（＝円柱形）が辿り、両端をくっ付けることによって初めて、球体とは異なる形になり、辿るコースの違いによってそれぞれ異なる形になると、ポアンカレは言っているのです。
問題の中に答えが隠されているのです。ポアンカレが色んな形を頭の中で作ろうとして、丸い形（＝球体）を色々引き伸ばしてみたが、一部をくっ付けない限り、いくら引き伸ばし縮めても元の丸い形に還元されてしまう。それがまさに、この問題におけるロープのイメージに、辿り着いたのではないでしょうか。
ちなみにロープ（＝円柱形）の両端をくっつけるには両端の外面と外面、内面と内面を普通にくっ付ける方法と、両端の外面と内面、内面と外面をくっ付ける方法の2通りがあります。前者は単純に分かります。後者はロープは内側と外側が連続した輪になり、ロケットが空間の外側に出て、外側で輪の穴を通り抜けることになるのでやはり穴に引っかかります。これで答えになっているでしょうか。

回答No.1

ninigi

それは「結び目理論」と呼ばれるもので、私の知る限りポアンカレ予想とは直接関係ありません。

ポアンカレ予想で使われているロープは、たとえるなら幽霊のように「すり抜け」ができるので、結び目はできずにほどけてしまいます。

お礼

輪が元の位置に戻る動かし方は、この基本的にはこの４種類のみです。ただし、途中の動かし方の変化が(2)(3)には3種類あります。(2)について言えば、前記方法と、回転の途中で引き返し、来た輪を取り巻く様に大きくし、また元の進行方向に引き返しながら輪を小さくして元の位置に戻す方法、逆に途中で引き返しながら輪を来た輪の内側に入り込む様に小さくし、また元の進行方向に引き返しながら輪を大きくして元の位置に戻す方法の3種類です。(3)について言えば、移動の途中に(2)の場合と同じ動きを入れる方法です。この場合、内面と外面が繋がっている為、外側の輪を移動させれば内側の輪となる為同じ形と言えます。以上述べた、I球体・IIドーナツ形・III内側に折り返せない横の輪のあるドーナツ形・IV外側に折り返せない横の輪のあるドーナツ形・V内側に折り返せない縦の輪のあるドーナツ形・VI外側に折り返せない縦の輪のあるドーナツ形・VIIクラインの壷・VIII折り返せない縦の輪のあるクラインの壷の8種類の基本形が存在します。II．V．VIではドーナツの穴が引っ掛りロープは回収出来ません。III．IV．VII．VIIIでは面の内側と外側が繋がっており、ロープの輪の中に縁の無い面が存在する為、ロープは回収出来ません。ロープを回収できる形はIの球体のみです。従ってロープが全て回収出来た時、この宇宙は『おおむね丸い』と言えます。ご回答ありがとうございました。

補足

ポアンカレ予想とは『地球からロープを付けロケットに乗り、宇宙を旅行する。そして、地球に帰った時、ロープの両端がある。そのロープの両端を離さないで、ロープ全体を引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』という問題です。これは3次元閉多様体（3次元の縁の無い繋がった一枚の面）の中で、球体（3次元球面）以外にロープの引っ掛らない（単連結）の形があるかと言うことです。3次元閉多様体の作り方が有限ならば3次元閉多様体の数も有限であり、１つ１つ検証すれば、回答が出ます。ヒントは、3次元閉多様体を平面で輪切りにした時、必ず一本の輪になっており、その平面を幾ら動かしてもその輪は連続しており、必ず元の輪の位置に戻ると言う事です（ドーナツ形を考えて下さい）。輪の途中が切れていたり、元の位置の輪に戻らず途中で消えていたら、穴が開いている（＝端がある）ことになります。小さくなり点になって消えること（鉛筆のキャップの形）はありますが、トポロジーではその部分は、縮めて無くすることが出来る為、その場合は無視して良いのです。二つの輪に枝分かれすることはあります。しかし、その輪は枝分かれした元の位置に必ず戻ります。（2つ穴のあるドーナツ形を考えてください）従って、枝分かれした場合、2つの基本的な形の組合せで出来ていると考えます。従って、3次元閉多面体の基本形は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。輪の形と動かし方の違いで、異なる形が出来ます。輪には3つの形があります。○（丸形）・∞（無限大形）・◎（一筆書二重丸・文字が無い為便宜上◎を使用する＝一筆書きで二重丸を書いた形）です。この3種の輪は平面上で幾ら動かしても、他の輪にはなりません。∞は○にしようとしても、折り返せない点が外側に残ります。◎を○にしようとしても、折り返せない点が内側に残ります。従って、輪を移動させる途中で他の輪になることはありません。では∞にもう一捻りを加え三つの丸い部分のある形はどうでしょうか。これは、平面上で○になります。丸い部分が偶数なら∞になり、奇数なら○になります。一筆書き三重丸は平面上で○になります。この場合、丸が偶数なら◎に、奇数なら○になります。従って、輪の種類はこの3種類しかありません。基本的な動かし方は４種類あります。(1)輪が左右対称になる様な軸を取り、その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、（○の場合球体になります。∞の場合回転軸は2本取れますが、いずれも一点に於いて面が交わる為、存在しません。◎の場合回転軸は一本取れますが、これも面が一点に於いて交わる為存在しません。）(2)輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、（○の場合、ホースの口と口を向かい合わせに繋いだドーナツ形になります。◎の場合は、縦切り口が◎のドーナツ形[＝幾ら伸縮し面と面をすり抜けさせて変形しても、ドーナツの内側に折り返せない輪がドーナツの穴を取り囲むように横{ドーナツを横たえた場合}に残ります]）∞の場合は、縦切り口が∞のドーナツ型[＝変形しても、ドーナツの外側に折り返せない輪が横に残ります]）(3)輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、来た軌道とは異なる軌道を通って元の輪の位置に戻る方法、（○の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形＝クラインの壷になります）(4)輪を上下方向に移動させつつ元の輪を取り囲むように大きくした上で元の位置に戻す方法、（○の場合ドーナツ形で(2)の方法と同じ形になります。）