三角比を用いた証明問題の解法について

質問

• 三角形ABCにおいて、∠B＝60°、bが整数、c・aが素数の三角形が正三角形になることを示すためには、aとcがどのような条件を満たす必要がありますか？解法についてアドバイスをお願いします。
• 三角形ABCにおいて、∠B＝60°、bが整数、c・aが素数の三角形が正三角形になるための条件を求めるためには、cosCとcosAの関係を利用することができます。具体的な計算手順や式変形のヒントを教えてください。
• 三角形ABCにおいて、∠B＝60°、bが整数、c・aが素数の三角形が正三角形になるための条件を求めるための式変形に進んでいますが、複雑になってしまっています。他の解法やアプローチ方法についてアドバイスをお願いします。

回答No.1

tecchan22 · ベストアンサー

解き方はいろいろあると思いますが、

やはり、余弦定理を用いて、
a^2-ac+c^2=b^2　　・・・(1)

そして、
ｂは整数、ａとｃは素数　　・・・(2)

この(1)(2)から、証明するのがいいのではないでしょうか？

ここからの証明方法も、色々ありうると思います。
が、ヒントとしては、平方完成・因数分解。
思い付かなければ、まずｃ＝２のときを考えると良いかもしれません。
（２は最小の素数かつ唯一の偶素数なので、別に考えた方がいいかもしれませんし、また、一般化への足がかりになるかも知れないからです）

※老婆心ながら、a≧cと仮定しても一般性を失いませんから、そう仮定して証明するとよいでしょう。

頑張って下さい。

お礼

a≧c、因数分解から解答作ってみました。評価して頂けたらと思います。

b^2=a^2+c^2-ac
=(a-c)^2+ac
⇔
b^2-(a-c)^2=ac
⇔
{b+(a-c)}{b-(a-c)}=ac
ここでa-c≧0よりb+(a-c)≧b-(a-c)
さらにa,cは素数なので
b+(a-c)=a
b-(a-c)=c
または
b+(a-c)=ac
b-(a-c)=1
である。

()
b+(a-c)=a
b-(a-c)=c　の時
この２式を解くとb=c,b=aとなる。
()
b+(a-c)=ac
b-(a-c)=1　の時
辺々引いて整理すると
(a-2)(c+2)=-3
となり、a-2,c+2が整数より
(a-2,c+2)=(3,-1),(-3,1)(1,-3)(-1,3)
が考えられるが、このなかでa,cが正の素数になるのは
a=c=1のみである。
この時b=1である。

()()より
△ABCは正三角形である。

これでどうでしょうか？

補足

補足に失礼します。
後半のa=c=1は１が素数でないので不適ですね（＞＜）
ちょっとした勘違いです。