答えに辿り着く方法

質問

こんばんは。

問題：
x, yは負でない整数とする。このx, yが、等式
x^2((x^2)+4) + y^2((y^2)-4)=2(x^2)(y^2)-3
を満たすように、x, yの値を定めよ。

この問題の答えは結局(x, y)=(0, 1)(1, 2)の二通りで、
自力で解くことは出来たのですが、格好良い解き方とは思えず、
質問することにしました。

私の解き方は次の様なものでした。
与式は最終的に次の二様になる。
(x^2)-(y^2)=-1 ----イ式とする
(x^2)-(y^2)=-3 ----ロ式とする

イ式はx^2=y^2-1、ロ式はx^2=y^2-3となり、それぞれの式でxに0から順に
代入していって答えを探る、所謂シラミ潰しで答えに辿り着いたのでした。

しかしながら思うのです。答えに辿り着くため式を駆使する方法を
思い付かなかったからシラミ潰しの方法を採り、またその方法で難なく
答えに辿り着けたから良かったようなものの，これがもっと大変な数に
なっていたら・・・。

この問題、イ式とロ式から答えを(x, y)=(0, 1)(1, 2)に定める、シラミ
潰しではない方法はありますか？

宜敷御願い致します。

回答No.1

noname#47894 · ベストアンサー

(x^2)-(y^2)=-1 または、(x^2)-(y^2)=-3
まで、たどり着いたのであれば、左辺を因数分解しましょう。

(x+y)(x-y)=-1　(1)　または、(x+y)(x-y)=-3　(2)
となります。

ここで、x、yはともに0以上の整数であるから、x+y、x-yはともに整数
また、x+y>=0　です。x+y、x-yは、右辺の約数ですから、

(1)より、
（x+y=1　かつ　x-y=-1 ）
または、
(2)より、
（x+y=1　かつ　x-y=-3 ）または（x+y=3　かつ　x-y=-1 ）

あとは、それぞれ連立方程式を解き、不適当なものを除きます。
答えは、同じものが得られます。

お礼

大変よく理解できました。
ありがとうございました。