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一次不等式の解の存在条件(整数解の個数)

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。 [問] xについての連立不等式 ax<3a(a-3) ---(イ) (a-3)x≧a(a-3) ---(ロ) がある。 この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。 =============================== [模範解答] 「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、 「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。 ※ 他三つの場合は省略。 【a=3の場合】 (イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不適 ---- 【0<aかつa-3<0の場合】 (イ)と(ロ)は次のようになり、不適 (イ): x<3(a-3) (ロ): x≦a =============================== 【a=3の場合】の説明について どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。 「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。 【0<aかつa-3<0の場合】の説明について なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。 よろしくお願いします。

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>【a=3の場合】の説明について >どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。 >「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。 a=3と置くと ax<3a(a-3) ---(イ) (a-3)x≧a(a-3) ---(ロ) ↓ 3x<3×3(3-3) ---(イ) (3-3)x≧3(3-3) ---(ロ) ↓ 3x<3×3×0 ---(イ) 0x≧3×0 ---(ロ) ↓ x<0 ---(イ) 0x≧0 ---(ロ) (ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。 「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。 (イ)さえ成り立てば「連立する」のです。 (イ)は、最終的に x<0 になっちゃってますから「(イ)かつ(ロ)」は「x<0と同じ」って事です。 >「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。 「x<0であるxは無限にある」ので「連立不等式を満たす整数がちょうど3個」という条件に合いません。 「条件に合わない」から「不適」と言っているのです。 「なぜ不適なのか」と言われたら「x<0であるxは無限にあって、3個だけじゃないから不適」なのです。 xが-1でも、-2でも、-3でも、-4でも、何でも成り立つでしょう? >なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。 【0<aかつa-3<0の場合】 って事は 【0<aかつa<3の場合】 です。 【0<aかつa<3の場合】 を満たすaは、1と2だけです。 aが1の場合 (イ): x<3(a-3) (ロ): x≦a ↓ (イ): x<3(1-3) (ロ): x≦1 ↓ (イ): x<3×2 (ロ): x≦1 ↓ (イ): x<6 (ロ): x≦1 (ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。 つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。 これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。 さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね? それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。 aが2の場合 (イ): x<3(2-3) (ロ): x≦a ↓ (イ): x<3(2-3) (ロ): x≦1 ↓ (イ): x<3×1 (ロ): x≦1 ↓ (イ): x<3 (ロ): x≦1 (ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。 つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。 これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。 さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね? それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。 これで「aが1の場合は不適、aが2の場合も不適」と判りました。 なので「ここで導き出された二式から不適と判断できる」のです。 出題者が欲しい正解は 「aが○○の時」 です。 aに○○を入れた時、成り立つxが無限個あったり、0個だったり、1個だったり、2個だったり、4個以上だったら駄目なんです。 aに○○を入れた時、成り立つxは、x=◎、x=△、x=□の3個しかない、って場合だけ「aが○○の時」ってのが正解になるのです。

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質問者からのお礼

非常に詳しく書いて下さったお陰で、よく理解できました。 本当にありがとうございました。

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  • 回答No.1
  • MSZ006
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>【a=3の場合】の説明について >どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。 ax<3a(a-3) ---(イ) (a-3)x≧a(a-3) ---(ロ) にa=3を代入すると、 (イ)は、3x<0 → x<0 (ロ)は、(a-3)=0なので、xがすべての実数で成り立つ よって、「(イ)を満たしかつ(ロ)も満たすxの範囲はx<0」となります。 >「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。 x<0のすべての実数で成り立つ訳ですから「この連立不等式を満たす整数がちょうど3個」には該当しません。 >【0<aかつa-3<0の場合】の説明について >なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。 >(イ)と(ロ)は次のようになり、不適 >(イ): x<3(a-3) >(ロ): x≦a (イ)と(ロ)はどちらも負の方向には際限がない訳ですから、「この連立不等式を満たす整数がちょうど3個」には該当しません。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 お陰さまで理解することができました。

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