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微分について
sanoriの回答
- sanori
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足し算の反対は引き算です。 掛け算の反対は割り算です。 指数の反対は対数です。 微分の反対は、積分です。 高校までに習う数学の中で、微積分は、役立ち度でＮｏ．１だと言っても過言ではありません。 身の回りにある様々な現象は、微積分で説明できます。 まずは、私の過去回答を。 ＜円錐、角錐の体積＞ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2950259.html ＜球の表面積と体積＞ http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787 他の例も。 ＜等加速度直線運動＞ 一定の重力を受けて落下している物体の運動は、空気抵抗を考慮すると、 加速度 ＝ 重力加速度 ＋ 空気抵抗 と書けます。 空気抵抗を無視できるとすれば、 加速度 ＝ 一定の加速度 です。 これを時刻ｔで積分すれば、速度になります。 速度 ＝ ∫一定の加速度・ｄｔ ＝ 一定の加速度∫１・ｄｔ ＝ 一定の加速度・ｔ ＋ Ｃ ｔ＝０のときの速度は初速なので、 初速 ＝ ０・ｔ ＋ Ｃ ＝ Ｃ つまり、 速度 ＝ 一定の加速度・ｔ ＋ 初速 となりました。 さらにもう１回積分すると、位置（距離）になります。 位置 ＝ ∫（一定の加速度・ｔ ＋ 初速）ｄｔ ＝ 一定の加速度∫ｔ・ｄｔ ＋ 初速∫１・ｄｔ ＝ 一定の加速度・ｔ^2／２ ＋ 初速・ｔ ＋ Ｃ 時刻ｔ＝０ における位置をゼロと決めれば、 ゼロ ＝ 一定の加速度・０^2／２ ＋ 初速・０ ＋ Ｃ ＝ Ｃ よって、 位置 ＝ 一定の加速度×時刻^2÷２ ＋ 初速×時刻 となります。 逆（微分）は簡単です。 速さ ＝ （一定の加速度×時刻^2÷２ ＋ 初速×時刻）を時刻で微分 ＝ 一定の加速度×時刻 ＋ 初速 もう１回時刻で微分すれば 加速度 ＝ 一定の加速度 さて、これは、何に役立つかと言いますと、 ・重力を受けて落下する物体の落下時間や、ある時刻における位置の予言。 ・クルマがブレーキをかけ始めてから止まるまでの距離が、スピードの２乗に比例する（運転免許の試験に出てきます）ことの理由が分かる。 ＜振動＞ バネの片側を固定し、もう一方の端におもりをつけます。 ｘセンチ縮めるための力、ｘセンチ伸ばすための力は、ｘに比例します。 座標（物差し）で考えると、縮めたり伸ばしたりしたときの力は、その逆方向なので、 おもりの加速度 ＝ － 比例定数×おもりの位置 という式になります。 上述した等加速度直線運動で述べたとおり、加速度は位置を２度微分したものなので、 ｄ^2ｘ／ｄｔ^2 ＝ － 比例定数・ｘ これを解くと、（過程は省略しますが） ｘは、時刻ｔの三角関数（本当は複素指数関数ですけど）の形になります。 ｘ ＝ 定数・sin（ωｔ＋Ｃ） これは何の役に立つかと言いますと、 ・バネの振動の周期の予言。 ・振り子の糸の長さから周期を予言。 ・波（光、電波など）の挙動を表せる。 ＜過渡現象、減衰など＞ こちらも、私の過去回答です。何回か回答していますが、Ｎｏ．４をご覧になってください。 （前半部分は、上述の等加速度直線運動とダブりますが） http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3186635.html このように、解が ｅ^(－ｘ／定数) の形になる現象は、電気回路以外にもたくさんあります。 たとえば、 ・半透明の物体を光が透過するときの減衰のしかた ・放射性物質の量と放射能の関係 ・洗濯物の乾き方 ＜電磁気学＞ マクスウェルの４つの方程式 http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k4housoku/maxeq.htm ∇（ナブラ）は、微分を表す記号だと思ってください。 量子力学的なことを除けば、この世の電気、磁気、電磁波（光、電波など）は、 すべて、この４つの方程式だけで表すことができます。 まだまだ沢山ありますが、この辺で。 ＾＾
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