難しい方程式なのですが…(問題訂正)

質問

sin^2x+2cosx+2=0
（　サインの２乗ｘ　＋　２コサインｘ　＋　２　＝０　）

関連URL:http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=333911

回答No.10

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】
次の方程式を解きなさい。
　sin^2x+2cosx+2=0

【解答】
　sin^2x=1-cos^2x
であるから、
　son^2x+2cosx+2=(1-cos^2x)+2cosx+2=3+2cosx-cos^2x=0
　∴ cos^2x-2cosx-3=0
cosx=Xとおけば、
　X^2-2X-3=0
　∴ (X-3)(X+1)=0
　∴ X=3,-1
-1≦cosx≦1であるから、
　cosx=-1
　∴ x=π ・・・ (Ans.)

回答No.13

siegmund

No.2 の siegmund です．

No.3, No.4, No.5 の回答見ていたらミスプリに気づきました．
(3)～(4)のところ，

(3)　　1 - y^2 + 2y + 2 = 0　　⇒　　(y-3)(y+1) = 0
ですから，
(4)　　y = -1, 3

と訂正してください．

回答No.12

i536

問題が、sin^2x+2cosx+2=0 ならば、
＃１のCATV95(2)の回答に沿って下記のように解けばいいですよ。

sin^2x+2cosx+2=0 ---(1)

公式sin^2x+cos^2x=1を変形した、sin^2x= 1- cos^2x を(1)に代入すると、

(1- cos^2x)+2cosx+2=0

よって、

cos^2x -2cosx -3=0 ---(2)

cosx=t とおけば、(2)は下記２次方程式(3)になります。

(t-3)(t+1)=0---(3)

２次方程式(3)を解けば、t=3 または　t=-1.
-1<=cosx=t <=1 よりt=-1のみ(3)の解となります。

cosx=-1 かつ　条件０≦ｘ＜２πより

x=π.

回答No.11

heero01

方針としてはこの式をcosだけの式に直します。まず

cos^2+sin^2=1 (xは省略しています）

よりsin^2=1-cos^2。

これを問題の式に代入すると

1-cos^2+2cos+2=0

整理して

-cos^2+2cos+3=0

ここでcos=□とおくと

－□^2＋2□+3=0

となり2次方程式か出来ます。これを因数分解して

(□-3)(□+1)=0

□=３or-１

となりますので

cosｘ＝３か-１を満たすｘが解となります。

よってｘ＝180度となります。

このような問題は公式を総動員してcosだけ、またはsinだけの式にするようにしてください。あとは方程式を解くだけです。

回答No.9

kusu034

（^2を、２乗という意味で使っています。）

sin^2x+cos^2x=1
(sinの２乗ｘ　+　cosの２乗ｘ　＝　1）
の公式により、
sin^2xを 1-cos^2x と置き換えます。
すると、式が、
-cos^2x + 2sosx + 3 =0 となります。
両辺にマイナスをかけて、
cos^2x - 2cosx -3 =0 にすれば、因数分解できるので、
（cosx +1)(cosx -3) となり、
cosx ＝3、-1　となり、
cosx = 3 というのはありえないので、
cosx = -1 になります。
よって、ｘ＝１８０°　　
となるのではないでしょうか。

回答No.8

siegmund

(1)　　y = cos x
とおいて，
(2)　　sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - y^2
と使えば，もとの方程式は
(3)　　1 - y^2 + 2y + 2 = 0　　⇒　　(y-2)(y+1) = 0
ですから，
(4)　　y = -1, 2
が答ですが，(1)の条件から -1≦y≦1 に限られます．
したがって，
(5)　　y = -1　　⇒　　cos x = -1
なので，
(6)　　x = (2n+1)π　　(ただし n は整数)
が一般解です．
もし，x の範囲を 0≦x＜2π，あるいは -π＜x≦π に限るなら
(7)　　x = π
が答です．

回答No.7

ranx

cos2x = 1-2sin^2x　　２サインの２乗ｘ
を代入しましょう。

回答No.6

puni2

みなさんのおっしゃる通り，問題がこの通りなら「解なし」です。
きちんと解くと，cos x = （約）2.37 or -1.37となってしまいます。
解がないことを見積もるだけなら，次のようにしても見当がつきます。
与式より，(sin^2)x + cos x = -2
ところで，0≦(sin^2)x≦1，-1≦cos x≦1だから，-1≦(sin^2)x＋cos x(sin^2)x≦2
どうがんばっても両者の和は-2にはなりません。
さらに，実際には最大・最小値を取るときのxの値が異なるので，この範囲一杯の値を取りうるわけではないですね。（最小値はx=πのとき-1までいきますが）

やっぱり2cos xか何かの誤りのような気がしますが…。

補足

問題が間違っていました…　ごめんなさい。もう一度お願い致します。

sin^2x+2cosx+2=0
（　サインの２乗ｘ　＋　２コサインｘ　＋　２　＝０　）

回答No.5

mayumayukko

＃１さんの言う通り答えがでません。もう一度方程式を書いてください。

補足

問題が間違っていました…　ごめんなさい。もう一度お願い致します。

sin^2x+2cosx+2=0
（　サインの２乗ｘ　＋　２コサインｘ　＋　２　＝０　）

回答No.4

ienzdy

ためしに与式に x = π を代入すると

0 + (-1) + 2 = 0

となり、成り立ちませんね。

問題が間違ってませんか？

補足

問題が間違っていました…　ごめんなさい。もう一度お願い致します。

sin^2x+2cosx+2=0
（　サインの２乗ｘ　＋　２コサインｘ　＋　２　＝０　）

回答No.3

borick

回答もしくは問題がまちがっていませんか？
π＝180°ですが、この場合、sin^2x＝0で、cosx＝-1です。
つまり、0-1+2＝1で、0にはならないので、
はじめの方程式もしくは答え「ｘ＝π」が間違っているのではと思いますが。
いかがですか？

補足

問題が間違っていました…　ごめんなさい。もう一度お願い致します。

sin^2x+2cosx+2=0
（　サインの２乗ｘ　＋　２コサインｘ　＋　２　＝０　）