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数学IAの問題
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一辺の長さが４ｃｍの正四面体ＯＡＢＣについて辺ＡＢを１：３の比に分ける点をＤとする。 ＞∠ＯＤＣ＝θとする。次の問いに答えよ。 図を描いて考えてみて下さい。 ＞・ＯＤの長さ △ＯＡＤを考えると、ＯＡ＝４，ＡＤ＝１，角ＯＡＤ＝６０度だから、余弦定理より ＯＤ^2＝４^2＋１^2－２×４×１×cos６０度 ＝１６＋１－８×(1/2) ＝１３ よって、ＯＤ＝√１３ ＞・コサインθの値 △ＣＡＤを考えると、ＣＡ＝４，ＡＤ＝１，角ＣＡＤ＝６０度だから、 余弦定理より（ＯＤと同様にして）ＣＤ＝√１３ △ＯＤＣで、ＯＤ＝ＣＤ＝√１３，ＯＣ＝４，∠ＯＤＣ＝θだから、余弦定理より cosθ＝｛（√１３）^2＋（√１３）^2－４^2｝／２×√１３×√１３ ＝１０／２６ ＝５／１３ ＞・△ＯＤＣの面積 sinθ＝√１－（5/13)^2＝１２／１３ 面積の公式より、 （１／２）×√１３×√１３×（１２／１３）＝６ ＞サインθ＋コサインθ=三分の一のとき、次の値を求めよ。ただし、０°≦θ≦１８０° sinθ＋cosθ＝1/3 ……（１）より、両辺を２乗して、 （sinθ＋cosθ）^2 ＝sin^2θ＋２sinθcosθ＋cos^2θ ＝１＋２sinθcosθ ＝1/9 より、sinθcosθ＝－４／９ ……（２） ０°≦θ≦１８０°だから、（２）よりsinθ＞０，cosθ＜０ ……（３） ＞・サインθの３乗＋コサインθの３乗 因数分解すると sin^3θ＋cos^3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin^2θ－sinθcosθ＋cos^2θ） だから、これに（１）（２）を代入する。 ＞・サインθ－コサインθ （３）より、sinθ－cosθ＞０ ２乗すると、 （sinθ－cosθ）^2＝sin^2θ－２sinθcosθ＋cos^2θ （２）を代入して値を求め、sinθ－cosθ＞０から、 答えを求める。 でどうでしょうか？計算してみて下さい。
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- info22_
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後半) (1) sinθ+cosθ=1/3 ２乗して sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=1/9 1+2sinθcosθ=1/9 sinθcosθ=-4/9 これを使って sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ){(sinθ+cosθ)^2-3sinθcosθ} =(1/3){(1/9)-3(-4/9)} =13/27 (2) sinθ+cosθ=1/3, sinθcosθ=-4/9 0°≦θ≦180°より sinθ>0,cosθ<0 ∴90°<θ<180° ∴sinθ-cosθ>0 sinθ-cosθ=√{(sinθ-cosθ)^2}=√{(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ} =√{(1/9)-4(-4/9)} =√{(1/9)+(16/9)} =(√17)/3
お礼
ありがとうございます！！
- info22_
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前半） (1)OD AD=AB*AD/AB=4*(1/4)=1 △OADに余弦定理を適用して OD^2=OA^2+AD^2-2OA*ADcos60°=16+1-2*4*1*(1/2)=13 ∴OD=√13 (2)cosθ △OCDは二等辺三角形なので CD=OD=√13 △OCDに余弦定理を適用して cosθ=(OD^2+CD^2-OC^2)/(2OD*CD)=(13+13-16)/(2*13)=5/13 (3)△ODCの面積S S=(1/2)OD*CDsinθ=(1/2)*13*√{1-cos^2(θ)}=(13/2)√{1-(5/13)^2} =(1/2)√(169-25)=(1/2)√144=6
- gohtraw
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ＯＤの長さ 三角形ＯＤＢは、ＯＢ＝４、ＢＤ＝３、∠ＯＢＤ＝π／３の三角形です。これに余弦定理を使えばＯＤの長さが判ります。 ｃｏｓΘ 三角形ＯＤＣは三辺の長さが４、ＯＤおよびＣＤが上記で求めた長さの三角形です。これに余弦定理を使えばｃｏｓΘの値が判ります。 △ＯＤＣの面積 三辺の長さが判っているので、ヘロンの公式を使うか、上記のｃｏｓΘの値からｓｉｎΘの値を出し、 ＯＤ＊ＣＤ＊ｓｉｎΘ／２とすれば面積が出ます。 ｓｉｎΘ＝ｓ、ｃｏｓΘ＝ｃとします。 ｓ＾３＋ｃ＾３＝（ｓ＋ｃ）（ｓ＾２－ｓｃ＋ｃ＾２）・・・（あ） と因数分解します。ここで ｓ＾２＋ｃ＾２＝１ であり、 （ｓ＋ｃ）＾２＝ｓ＾２＋２ｓｃ＋ｃ＾２＝１／９ ですから ｓｃ＝－４／９ です。よって ｓ＾２－ｓｃ＋ｃ＾２＝１＋４／９＝１３／９ なので、（あ）の値は １３／９＊１／３＝１３／２７ です。 （ｓ－ｃ）＾２＝ｓ＾２－２ｓｃ＋ｃ＾２ ＝１－２＊（－４／９） ＝１７／９ よって ｓ－ｃ＝±√１７／３ ですが、上記でｓｃ＜０、与えられたΘの範囲でｓ＞＝０なのでｃ＜０です。したがって ｓ－ｃ＞ｓ＋ｃでなくてはならないので ｓ－ｃ＝√１７／３ となります。
お礼
ありがとうございます！！
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