２次関数の条件

質問

２つの２次関数y1=x＾2－2kx＋3kと、y2=x＾2＋4x－8を考える。
以下の条件を満たすように、実数kの範囲を求めよ。

(１)y1の最小値がy2の最大値より大きい。
(２)y1＞y2が成り立つ。

この問題の(１)と(２)の違いがわかりません。
おなじ意味ではないんでしょうか？

回答No.5

debut

放物線を　＼／　で表すならば、
(1)の場合は
　y1＼　　　　／
　　　　＼／

　　　　　　／＼
　　 　　／　　　＼y2
でないとだめだけど、
(2)の場合は
　y1＼　　　／
　　　　＼／　　／＼
　　　　　　　／　　　　＼ y2
のように、頂点の上下関係よりも、２つの放物線が
交わることも接することもなく、どのｘでみても常に
y1がy2の上にあればいいということです。

したがって、(1)は最大値と最小値だけで式を立てれば
いいですが、(2)のときは交点を求める２次方程式
x^2-2kx+3k=-x^2+4x-8 において、判別式＜０（交わらない、
接することがない）となるようにｋを求めます。

回答No.4

kkkk2222

y1=(x＾2)－2kx＋3k
={(x-k)^2}-(k^2)+3k

x=kのとき、最小値は　-(k^2)+3k
,,,,,,,,
y2=－(x＾2)＋4x－8
=-{(x-2)^2}-4

x=2のとき、最大値は　-4
,,,,,,,,
(１)y1の最小値がy2の最大値より大きい。

-(k^2)+3k>-4
　(k^2)-3k-4<0
　　(k-4)(k+1)<0
　　　-1<k<4
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(２)y1＞y2が成り立つ。

(x＾2)－2kx＋3k>ー(x＾2)＋4x－8
2(x＾2)-2(k+2)x+(3k+8)>0

D/4<0
　{(k+2)^2}-2(3k+8)<0
　　(k^2)+4k+4-6k-16<0
　　　(k^2)-2k-12<0
　　　　(1-√13)<k<(1+√13)

お礼

Dの意味分かりました！！
どうもありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
大体は理解できたのですが、D/4というのはどういう意味ですか？
バカでごめんなさい・・

回答No.3

ikuriki

図で書くとわかりやすいのですが・・・
(1)
y1の最小値>y2の最大値なので、y1がどんな値をとり、y2がどんな値をとっても常にy1の方が大きい
y1=f(x1),y2=g(x2)とすると、常にf(x1)＞g(x2)
x1,x2はそれぞれ異なってもよいxです

(2)
y1＞y2ってことはy1=x＾2－2kx＋3k＞y2=x＾2＋4x－8ですよね？
ということは、xは共有されているので同じxの値の時、y1>y2となるわけです
f(x)＞g(x)ということ。
また、このときf(x1)＝g(x2)、f(x1)＜g(x2)となることも十分ありえるわけです

回答No.2

tunertune

追加ですが、この問題って式あってますか？
（１）は傾きが同じなので解けないのではないかと思いますし、
（２）は無理ではありませんが、解は１つになってしまいました。
計算が間違っているのかもしれませんが・・・。

補足

すみません。
y2=x＾2＋4x－8ではなく、y2=－x＾2＋4x－8でした。
ご指摘どうもありがとうございました。

回答No.1

tunertune

（１）xがいくつのときでも、例えばx=1のときのy１とx=3のときにy2をくらべてもy1>y2となります。
（２）はおそらくxが同じ時という意味だと思われます。
ですから、y1の最小値＞y2の最大値がなりたたなくてもいいわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
そういうことだったんですか。
違いがよくわかりました。