確率の最大値

質問

6分の1の確率で不良品を含む製品の山がある。その中から50個の製品を買ったとき、その中に何個の不良品が含まれることが最も確かか？
という問題をわかりやすく教えてください。

回答No.6

chomsky123

>>P(k+1)＞P(k)がなぜ。

P(k+1)とP(k)を評価（比べる）しています。

厳密には、
P(k+1)＞P(k)、
P(k+1)＝P(k)、
P(k+1)＜P(k)の三者をやるべきですが、

P(k+1)＞P(k)　⇔　k＜７．５　が判れば、
P(k+1)＝P(k)　⇔　k＝７．５、も
P(k+1)＜P(k)　⇔　k＞７．５、も判るので、省略形で書いてあります。
、、、、、、

>>P(k+1)はどうやって。

式、P(k)＝50Ｃk×(5/6)^(50-k)×(1/6)^k　の、
kをk+1に置き換えれば、

P(k+1)＝50Ｃk+1×(5/6)^(50-(k+1))×(1/6)^(k+1) と出てきます。

お礼

わかりやすい説明どうも有り難うございました。

回答No.5

kkkk2222

P(n+1)=C[50,(n+1)]{(1/6)^(n+1)}{(5/6)^(49-n)}
={50!/(n+1)!(49-n)!}*{5^(49-n)}*{(1/6)^50}
={50!(50-n)/(n+1)!(50-n)!}*{5^(49-n)}*{(1/6)^50}

P(n)=C[50,n]{(1/6)^n}{(5/6)^(50-n)}
={50!/n!(50-n)!}*{5^(50-n)}*{(1/6)^50}
={50!(n+1)/(n+1)!(50-n)!}*5{5^(49-n)}*{(1/6)^50}

*P(n+1)>P(n)
P(n+1)/P(n)>1
(50-n)/5(n+1)>1
50-n>5n+5
45-6n>0
45>6n
n<7.5,,,,,n=0,1,2,3,4,5,7
(＃)　P(0)<P(1)<P(2)<P(3)<P(4)<P(5)<P(6)<P(7)<P(8)

*P(n+1)=P(n)
n=7.5 は不可。

*P(n+1)<P(n)
n>7.5,,,,,n=8,9,・・・,50
(＃＃)　P(8)>P(9)>・・・>P(50)

(＃)(＃＃)より、P(8)が最大値
即
８個の不良品が含まれることが最も確かとなります。

回答No.4

tarame

50個の中にｋ個の不良品が含まれる確率をP(k)とすると
P(k)＝50Ｃk×(5/6)^(50-k)×(1/6)^k ですから
P(k+1)＞P(k) を解くと
1/(k+1)＞5/(50-k) より　k＜15/2
よって
P(0)＜P(1)＜…＜P(7)＜P(8)＞P(9)＞…＞P(49)＞P(50)　より
８個含まれるときが最大となります。

補足

P(k)＝50Ｃk×(5/6)^(50-k)×(1/6)^kまでは解ったのですが、そこからP(k+1)＞P(k)がなぜ出てくるのがわかりません。あと、P(k+1)はどうやって出てきたかを教えて下さい。お願いします。

回答No.3

oji32

最も確かか？というフレーズで戸惑っていらっしゃると思うのですが、
例えば、
最も見込まれるか？
最も考えられるか？
一番確率が高いか？
などと考えられたらいかがでしょうか？

回答は#1の方の通り、また「最も」がついていなければ#2の方の通りだと思います。

回答No.2

nrb

最も確かか？

不良品含まれる最小は０個、最大は５０個です
これ以外に確かな答えはありません

平均もだして・・・確かな答えではありません
まあ、サイコロふって・・１が出ると同じことですので

運がいいと５０回連続１がでない時もあります
また５０回連続で出ることもありえます

回答No.1

takeches

こういうことでしょうか。
６分の１の確率で不良品を含む製品の山ということは
６個のうち１つ不良品を含むと思われる製品の山である、と考えると、
50×1/6=25/3
25/3は少数で、8.3333...
少数個含まれるのはおかしいので、まあ、問題中に、何個の不良品が含まれることが「最も」確かか、とあるので、
四捨五入して８
ということにしときます。
よって答えは８個含まれることが最も確か、だと思います。