確率について

質問

早速ですが、確率について下記例題の計算方法をご教授頂きたくお願い致します。

あるものの検査において
500ヶ中2ヶ不良がある場合、40ヶ抜き取りをした際にその40ヶの中に2ヶ不良が含まれる確率。（不良2ヶの内1ヶではなく、2ヶとも同時に含まれる場合のみの確率を求めたい。）
可能であれば、C(コンビネーション）を使用した式にて教えて頂けますと助かります。

よろしくお願い致します。

回答No.6

osu_neko09

＃３です。
＞１～３８個目まで、良品だとしますね。
＞これは
＞
＞４９８／５００　×　４９７／４９９　×・・・・×４６０／４６２
＞
＞ですかね（ここまで３８個）。

３９個ありませんか？なので
４９８／５００　×　４９７／４９９　×・・・・×４６１／４６３

＞ずらっと並べます。
＞４９８×・・・・・×４６２×２×１／５００×・・・・×４６０
なのでここが
４９８×・・・・・×４６１×２×１／５００×・・・・×４６１

＞この２と１は、４０の並びのどこに入ってもいいので
＞40Ｃ2　をかけないといけません。
（省略）
＞うえの式を整理していくと、
なので　ここが
　　　４９８！／４６０！　×　２！　×　４０！／（２！×３８！）
Ｓ＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　５００！／４６０！

　　　　　　　　４０！／３８！　　　　　　　　　40Ｐ2
　＝－－－－－－－－－－－　＝　－－－－－－－－
　　　　　　５００！／４９８！　　　　　　　　500Ｐ2

ではないかな、と。

回答No.5

B-juggler

三回目です　Ｎｏ．２です　こんばんは

なかなか自分の納得のいく答えが見つけられず、
ずいぶんと遅くなりました。

やはり間違ってました。最初からＣを使う方法だと
ずっと間違ったまんまだったでしょうね。

改めて、解答させてください。
確率としないといけなかったです。
　＃組み合わせでいってしまったので、間違ったみたい。

純粋にひとつずつ取り出すのを、４０回繰り返す（戻さない）
のを考えます。　問題と同じことですから。

１～３８個目まで、良品だとしますね。
これは

４９８／５００　×　４９７／４９９　×・・・・×４６０／４６２

ですかね（ここまで３８個）。

次に、続けて不良品２つ　２／４６１　×　１／４６０
　＃これで４０個ですね。

ずらっと並べます。
４９８×・・・・・×４６２×２×１／５００×・・・・×４６０

この２と１は、４０の並びのどこに入ってもいいので
40Ｃ2　をかけないといけません。

ここで、ｎＰｒ　を先に出しておきます。
これは順列ですね。階乗の計算を途中で切るときに重宝します。

ｎＰｒ＝ｎ！／（ｎ－ｒ）！　
　＃三連単だと１８頭立て＾＾；　
　＃18Ｐ3＝１８！／１５！＝１８×１７×１５　
　＃どおりで当たらないはずだ！　＾＾；

うえの式を少し整理すると、（Ｓとおきますね）

Ｓ＝498Ｐ38　×　2Ｐ2　×　40Ｃ2　／　500Ｐ40

こうなりますね。これを整理していくと、

　　　４９８！／４６０！　×　２！　×　４０！／（２！×３８！）
Ｓ＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　５００！／４６０！

　　　　　　４９８！／４６０！×３８！　　　　　　　　498Ｃ38
　＝－－－－－－－－－－－－－－－　＝　－－－－－－－－
　　　　　　５００！／４６０！×４０！　　　　　　　　500Ｃ40

と、うまいこと消えてくれます。

多分これだと思うんですが。だいたい０．３％位ですね。
少し小さすぎる気もします。

一応プロではあるんだけど、組み合わせと確率はぜんぜん違いますね
　（＾＾；）　ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．２です。
こんばんは。ちょっとすみません。

あれ、１より大きい結果になりますか？

（498Ｃ38）×（40Ｃ2）＜　500Ｃ40　のはずですが・・。

すいません、これちゃんと考えないとまずそうです。

回答No.3

osu_neko09

＃２さんの回答だと、計算結果が4.88になってしまいました。

不良率ではなく、500ヶ中2ヶ不良があるという個数が確定した条件だと、
40C2 / 500C2 = 780 / 124750 = 0.0062525
でよろしいかと思います。

回答No.2

B-juggler

こんばんは

今日ちょっと一日考えてみたのですが、たぶんこうなるのかな？

Ｎｏ１さんのと（工業数理になるのかな？）、使い方が違いますが、
いわゆる、組み合わせで行きますね。

ｎＣｒ＝ｎ！／ｒ！（ｎ－ｒ）！　これは大丈夫として。

５００個のうちに不良品が２個ですね。
正規品は５００－２＝４９８　個ですね。

４０個の取り方を全部考えると
500Ｃ40　になりますね♪　（５００個のうちに重複なく４０個選ぶ）
　＃これが分母になりますね。

今は、４０個引き抜いたときに不良品が２個とも入っている場合ですね

これは
「４９８個ある正規品から３８個引いてきて、不良品２個から２個とも
持ってくる」と考えられますね。

なので、すぐ気が付くところで、こうなります。

498Ｃ38×2Ｃ2　　ですね。ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

と、ここまででは完全に引っかかっています＞＜

ちょっと考え方を変えて、一つずつ、４０個取ってきたとしますと、
何番目に不良品が来るかが関係しますね。
これが落ちていますね。
　＃実は同じことです。
なので、この分の補正が必要です。
「４０個の引っ張ってきたものの中で、どこが不良品か」
を、掛け合わせて、それを補正とします。

正しくは
（498Ｃ38）×（2Ｃ2）×（40Ｃ2）　になります。
　＝（498Ｃ38）×（40Ｃ2）　ですね。

分母は取り方全てになりますから、求める確率は・・・

（498Ｃ38）×（40Ｃ2）／（500Ｃ40）

こうなるはずです。これは私もパーフェクトな自信がありません。
組み合わせ理論は一応かじってはいますが、
ここまで複雑で、実際に数字を入れるのは、久々ですし・・・。

有識者の皆さんフォローを。

分からないところがありましたら、ご質問くださいね。

回答No.1

ymmasayan

不良率0.004ですね。
４０個中２個取る組み合わせは４０Ｃ２。
これに不良率を組み合わせると
４０Ｃ２×(0.004)^2×(1-0.004)^38　かと。