集合の問題ですか？

質問

Ｇ＝｛ａ＋ｂｉ　｜　ａ，ｂ←ＩＲ，ａ＾２＋ｂ＾２＝１｝
(1)Ｇは乗法について閉じていること、可換群であることを示せ。
この問題は集合の問題でしょうか？　
大学からもらったテキストには解き方や解説が載っていません。
通信ということもあって、一人で勉強しなければいけないのですが、
良いテキストがわかりません。何か良いテキストはありませんか？
また、上記の問題の意味を教えていただけると幸いです。

回答No.2

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】
集合Gを
　G={a+bi|a,b∈R,a^2+b^2=1}
と定義する。
(1)集合Gは、乗法について閉じていることを示せ。
(2)集合G上の乗法は、可換群をなすことを示せ。

(1)は、集合、(2)は、群の範囲からの出題と考えることができます。

ある集合がある演算に対して、閉じているとは、その集合の要素にその演算を施した結果も、その集合の要素であるということです。
例えば、整数の集合は、四則演算について閉じているか、考えてみましょう。整数の和、差、積は、すなわち、足し算、引き算、掛け算の結果は、やはり、整数です。
　1+1=2, 3-2=1, 2×3=6
ところが、商、すなわち、割り算の結果は、整数であるとは限りません。
　6÷2=3, 7÷2=3.5
よって、整数は、演算、加法、減法、乗法については、閉じていますが、除法については、閉じていません。

ある演算（あるいは、操作）が可換であるとは、その演算の結果は、演算の順序によらない、ということです。
例えば、「回れ右」という操作と「3歩歩く」という操作を考えましょう。回れ右してから3歩歩くのと、3歩歩いてから回れ右するのとでは結果が違います。よって、これらの操作は可換ではありません。

お礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすいです。勉強になります。
このくらいわかりやすく書かれているテキストがあれば・・・・。

回答No.1

nikorin

Ｇ＝｛ａ＋ｂｉ　｜　ａ，ｂ∈Ｒ，ａ＾２＋ｂ＾２＝１｝（Ｒは太字．実数の意．）
ですよね？

これは集合というか、goosasukeさんがご自身で書かれている通り、群論の問題です。
代数学の教科書を探されてはいかがでしょう。
（例えば、「代数学」永尾汎 著　朝倉書店 など。）

簡単なヒント
乗法について閉じているとは、Ｇの任意の元の積もまたＧに属していることです。
可換群であることは、定義に照らし合わせて確認すればよいです。
（結合律、単位元の存在、逆元の存在（群の定義）　＋　可換（ａ・ｂ＝ｂ・ａ））

お礼

ありがとうございます。参考にしたいと思います。
大学で使われているテキストは難しく書かれているような気がして・・・。
勉強していきたいと思います。