• 締切済み
  • すぐに回答を!

幾何学の問題(3)

幾何学の問題が解けなくて困っています。 Q.図の集合はマトリックスの乗法に関して群であるかどうかを示せ。 解説・解答よろしくおねがいします!

共感・応援の気持ちを伝えよう!

みんなの回答

  • 回答No.4
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

答えだけいうと群です... あることに気付けば一瞬でわかりますが.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

図の行列を左からA, B, C, Dと置きます。 他の回答者の方々が仰るように、やることは 「A, B, C, Dと行列のかけ算」が群の定義を満たすかどうかを調べるだけです。 [1] 閉じているかどうかの確認 次の行列のかけ算をして下さい。 (1) AA (2) AB (3) AC (4) AD (5) BA (6) BB (7) BC (8) BD (9) CA (10) CB (11) CC (12) CD (13) DA (14) DB (15) DC (16) DD この計算をすると、答えがA, B, C, Dと一致するケースが存在します (たとえば(6)の計算結果はAになります)。 (1) ~ (16)の計算結果がA, B, C, Dの4種類だけなら、群である可能性があります。 逆に(1) ~ (16)の計算結果の中にたった1個でも 「A, B, C, Dのどれでもない行列」があったら、群ではありません。 [2] 結合法則が成り立つかどうか 行列X, Y, Z(ただしX, Y, ZはA, B, C, Dのどれか)に対し X(YZ) = (XY)Z が「常に」成り立つかどうかを示して下さい。 つまり (1) A(AA) = (AA)A (2) A(AB) = (AA)B ・ ・ ・ (64) D(DD) = (DD)D の64個の等式が満たされるかどうかを確かめてください。 64個の等式全てが満たされるなら群である可能性があります。 1個でも等式が成り立たないなら(例えばB(DA) ≠ (BD)A等)、群ではありません。 [3] 単位元が存在するか IA = AI = A IB = BI = B IC = CI = C ID = DI = D となる行列I(ただしIはA, B, C, Dのどれか)を探して下さい。 Iが存在すれば群である可能性があります。 Iが存在しなければ、群ではありません。 [4] A, B, C, Dに逆元が存在するか AA' = A'A = I BB' = B'B = I CC' = C'C = I DD' = D'D = I となる行列A', B', C', D'が存在することを示して下さい (ただしA', B', C', D'はA, B, C, Dのどれか)。 A', B', C', D'のうち、1個でも存在しないものがあるなら群ではありません。 [1] ~ [4]全ての条件を満たすなら、群であるといえます。

参考URL:
http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupAxiom/

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

丁寧にありがとうございます!

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

これのどこが「幾何学」なんだろう. 「群であるかどうかを示せ」ってことだから, 群の定義を満たすかどうか調べるだけ.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

あざっす!

  • 回答No.1
noname#108210
noname#108210

まず,4×4の表を作りマトリックスの乗法を行いましょう. 次に,「群」について調べましょう.そうすれば分かります.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます!

関連するQ&A

  • 幾何学の問題

    幾何学の問題がわからなくて困っています。 1. 点(3,2,1)を通り、数ベクトル(0,1,2)で表せる幾何ベクトルに垂直な平面の方程式 2. 1の方程式はどの座標軸に平行か 3. 点(1,2,3)を通り、x3軸に垂直な平面の方程式を求めよ 4. 点(2,1,3)を通り、x2x3平面に平行な平面の方程式を求めよ 解説・解答お願いします!!(><)

  • 幾何学の問題(2)

    幾何学の問題が分からなくて困っています(><) 二つの方程式a[11]x[1]+a[12]x[2]+a[13]x[3]=C[1],a[21]x[1]+a[22]x[2]+a[23]x[3]=C[2]が同じ平面を表すとき、これらの平面の間で係数・定数項はどんな関係をみたすか。※[]は添え字を表す 解答・解説お願いします!

  • 幾何学の問題です。

    幾何学の問題が解けなくて困っています。 どなたかわかりやすく教えてください。 よろしくお願いします(> <;) S^2={(x,y,z)∈R^3| x^2+y^2+z^2=1} をR^2の開集合と微分同相な開集合で被覆せよ。 そのときの微分同相写像も記せ。 という問題で、Rは実数全体の意味です。

  • 幾何学の問題で質問があります。

    現在、大学3年生で、昨年度に履修しました幾何学の試験についての質問です。 既に履修してしまい、単位とは関係ないのですが、履修当時、最大流の大問3を含め、完全に回答することができませんでした。 最近数学の復習をしたいと思い、この試験問題を見たのですが、やはり完全な模範解答を作ることができませんでしたので、どの問題でもいいでの、どなたか解説または回答をお願いしてもよろしいでしょうか?

  • 集合の問題ですか?

     G={a+bi | a,b←IR,a^2+b^2=1} (1)Gは乗法について閉じていること、可換群であることを示せ。 この問題は集合の問題でしょうか?  大学からもらったテキストには解き方や解説が載っていません。 通信ということもあって、一人で勉強しなければいけないのですが、 良いテキストがわかりません。何か良いテキストはありませんか? また、上記の問題の意味を教えていただけると幸いです。

  • エルランゲン・プログラムでの数論幾何学の位置付け

    エルランゲン・プログラムは、幾何学を集合(空間)に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量(不変式)を扱うものだという指針ですが、 数論幾何学においては、どんな集合(空間)、変換群、不変量(不変式)を扱っているのですか。 それとも、数論幾何学は、代数幾何の手法を用いた数論の意味合いでしょうか。

  • 幾何学の問題で質問があります~パート2~

    私は現在大学3年生で、昨年度に履修しました幾何学の試験についての質問です。 既に履修してしまい、単位とは関係ないのですが、履修当時、最大流の大問3を含め、完全に回答することができませんでした。 最近数学の復習をしたいと思い、この試験問題を見たのですが、やはり完全な模範解答を作ることができませんでしたので、どの問題でもいいでの、どなたか解説または回答をお願いしてもよろしいでしょうか?

  • 幾何学の問題で質問があります~パート3~

    わたしは現在、大学3年生で、昨年度に履修しました幾何学の試験についての質問です。 既に履修してしまい、単位とは関係ないのですが、履修当時、最大流の大問3を含め、完全に回答することができませんでした。 最近数学の復習をしたいと思い、この試験問題を見たのですが、やはり完全な模範解答を作ることができませんでしたので、どの問題でもいいでの、どなたか解説または回答をお願いしてもよろしいでしょうか?

  • 幾何学の問題で質問があります~パート1~

    私は現在、大学3年生で、昨年度に履修しました幾何学の試験についての質問です。 既に履修してしまい、単位とは関係ないのですが、履修当時、最大流の大問3を含め、完全に回答することができませんでした。 最近数学の復習をしたいと思い、この試験問題を見たのですが、やはり完全な模範解答を作ることができませんでしたので、どの問題でもいいでの、どなたか解説または回答をお願いしてもよろしいでしょうか?

  • 幾何学の問題が分かりません。

    幾何学の問題が分かりません。 何冊も参考書を見たのですが・・。 お手数ですが、ご回答いただけると助かります。 自然数の集合Nから実数の集合Rへの関数f:N→Rに対して、自然数nの像f(n)をanとする。 a1、a2、・・an、、an+1・・、 を数列といい、{an}で表す。 Q.次の問いについて、真であるものは証明を、偽であるものは反例を挙げよ。 (1)数列{an}の部分列{a2n}、{a2n-1}が同じ極限値に収束すれば、{an}も収束する。 (2)数列{an}の部分列{a2n}、{a3n}が同じ極限値に収束すれば、{an}も収束する。