行列B=A－αIの固有値を求めたい。

質問

行列A
2 -1 1
-1 0 1
1 1 0

があり、その上で、行列B=A-αI(Iは単位行列、αは実数)の固有値を求めたいのですが、Bの固有値がλだとしたらλ＝αとなりうるのでしょうか？

回答No.2

joggingman · ベストアンサー

横レスになりますが、

Bの固有値をλ
Aの固有値をλ’
３次元のベクトルをｘであらわすと
Ｂｘ＝λｘ
Ａｘ＝λ’ｘ
だから、
Ｂｘ＝（Ａ－αＩ）ｘ
　　＝Ａｘ－αＩｘ
　　＝λ’ｘ－αｘ
　　＝（λ’－α）ｘ
　　＝λｘ
よって、λ＝λ’－α
となります。

回答No.3

Tacosan

#2 はおしいんだけど, 「A の固有ベクトル x が B の固有ベクトルでもある」というのを前提として使っちゃダメです.
ちゃんと
x を A の固有値 λ に対する固有ベクトルとすると
Bx = (A - αI)x = Ax - αx = λx - αx = (λ - α)x
だから x は B の固有値 λ - α に対する固有ベクトル, っていわないと.
一般的に, x を A の固有値 λ に対する固有ベクトルとすると, x は行列多項式 f(A) の固有値 f(λ) に対する固有ベクトルです.

回答No.1

tinantum

質問の意味が「与えられたＡに対し，あるαを選べば，Ｂ=A-αI のある固有値λとαが同じになることがあり得るか？」という問いでしたら，ありえます．例えばこの例ならばα=1/2と選べば，Ｂは固有値1/2を持ちます．

そういう質問でしょうか？

ちなみに，(n×n行列)Ａの固有値がa1,a2,a3…,anの場合，Ｂ＝A-αＩの固有値はa1-α，a2-α,a3-α,…,an-αとなるだけです．上のＡの固有値は1,(1±√17)/2ですので，例えばα=1/2を選べばよいわけです．一般の場合は，例えば
a1-α = αを満たすようにαを選ぶ（つまりα=a1/2）とすればよいので，どんな行列の場合でもそういうαは存在します．

補足

ちなみに，(n×n行列)Ａの固有値がa1,a2,a3…,anの場合，Ｂ＝A-αＩの固有値はa1-α，a2-α,a3-α,…,an-αとなるだけです．上のＡの固有値は1,(1±√17)/2ですので，例えばα=1/2を選べばよいわけです．一般の場合は，例えば
a1-α = αを満たすようにαを選ぶ（つまりα=a1/2）とすればよいので，どんな行列の場合でもそういうαは存在します

追加で質問です。
この場合、a1-αとなるのはどうしてなんでしょうか？