- ベストアンサー
2つの行列の固有値が同じことを示す
n x n行列AとBがあって,A=f(B)なる関係がある時,それらの固有値がすべて同じ(つまりA,Bの固有値をa_i,b_iとしたとき,すべてのiに対してa_i=b_i)であることを示すためには,どのような方法があるでしょうか?
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 固有方程式の問題
A,Bをn次正方行列とし、AとBは共通の固有値を持たない (1) f(x)をAの固有多項式とするとき、f(B)は正則関数であることを示せ。 (2) AX=XBを満たす複素n次正方行列はゼロ行列に限ることを示せ。 という問題です。(1)はなんとなくA,Bが共通の固有値が違うことからf(B)の行列式≠0から示すのかなとおもうのですが、(2)が解りません。 両辺の行列式をとればXは正則でないことは示せるのですが0にしかならないというところまでうまく示せないのです。 そもそも f(B)=(B-λ1*E)(B-λ2*E)…(B-λn*E) ただし各λiはAの固有値 で考えていいんですよね。でも f(B)=det(B*E-A) なのですか? なんだかよくわからなくなってきました。 (2)の考え方と固有方程式に行列を代入したときどううなるかについてどなたかお暇な方お答えください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列、固有値
2×2の行列Z=aI+bJを考える。 ただし、I=|1 0|および、J=|0 1|である。 |0 1| |-1 0| また、aとbは実数であり、aとbが同時に0になることはないとする。 (1)Z[t]を計算し、a,b,I,Jで表せ。ここで添え字[t]は行列の転置を表す。 これはZ=(a b)Z[t]=(a -b)であるので (-b a) (b a) Z[t]=aI-bJでよいでしょうか?? (2)Zの逆行列を求め、a,b,I,Jで表しなさい。 Z^-1=1/(a^2+b^2)(a -b) なので (b a) 1/(a^2+b^2)*(aI-bJ)でよいでしょうか?? (3)JとZの固有値を求めなさい。 J=(0 1)なので|A-xE|=0より|-x 1| =0 (-1 0) |-1 -x| 従ってx^2+1=0 x^2=-1 x=±i なので Jの固有値は i と -i でよいでしょうか?? Z=(a b) |a-x b |=0 (a-x)^2+b^2=0 ここから、因数分解できないためもとめることができません。 (-b a) |-b a-x| 長々と書いてしまいすみません。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正定値行列同士の足し算 固有値
A>0、B>0とします このときA+B>0となるという事実を次のようにして理解してます 任意のベクトルx≠0で2次形式を作ると x^T(A+B)x=x^TAx + x^TBx>0 なので正定値行列だと思いますが 結局これは固有値が全て正だということでもあると思います AとBが対称行列、かつ固有値が全て正のとき なぜA+Bの固有値も全て正になるんですか? 2次形式を使わない証明方法お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の固有値問題
以下の証明はどのように行えばいいのでしょうか。 n次多項式f(s)=a(n)s^n + a(n-1)s^(n-1) + ・・・・ +a(1)s + a(0)とする。 行列A(n×nの正方行列)の固有値がλ1、λ2、・・・、λnであるとき、行列多項式f(A)の固有値はf(λ1)、f(λ2)、・・・、f(λn)であることを、任意のn次正方行列は適当な正則行列QによってQ^(-1)AQが下三角行列になるようにできることと、下三角行列の固有値は対角成分になることを用いて示せ。 という問題です。分かりにくくてすいません。 行列多項式というものが初めて目にする言葉ですし、方針が立ちません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の積の固有値
「nxn正則行列A,B,X=ABに関して,AとBの固有値と固有ベクトルが分かっているときに,Xの固有値と固有ベクトルを求めよ.」 という問題が解けません.どなたかお分かりになる方いらっしゃいますでしょうか? 補足 難しさは変わらないと思うのですが,Aは上三角行列,Bは下三角行列,X,A,Bは確率行列(全ての行を足すと(1,1,...,1)となる)という条件がありました. ですので,X,A,Bはそれぞれ固有値1を持つというのは分かります.この条件を使わないほうがいいのですが,使った場合でもありがたいです. なお,反復法などを用いて数値計算的に解きたいのではなくて,解析的にビシッと解きたいので,よろしくお願いします. ヤフー知恵袋のほうでも質問させていただいたのですが,有効な解が得られれませんでした. 教科書や,問題集の練習問題などではなく私が個人的に解きたい問題です.
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有値 固有ベクトル
固有値を求める場合の固有方程式について質問させて頂きます。 固有値と固有ベクトルの定義は、 n×n行列Aに対して、λ∈C,x∈C^nが Ax=λx |x≠0 を満たすとき、λをAの固有値、xをλに対するAの固有ベクトルという。 固有値を求める際の固有方程式ですが、 私の手元にある参考書では、 |λI-A|=0とあります。 web等で調べると|A-λI|=0という表記もありました。 Iは単位行列を表します。 |λI-A|=0と|A-λI|=0はどちらも正しいのでしょうか? また、なぜ等しくなるのか教えて頂けないでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルの解法
現在行列の固有値と固有ベクトルをもとめるプログラムを作成しています。 手順としては、入力行列をハウスホルダー法により三重対角行列に変換し、その後QR法で対角化を行い固有値を求めます。 固有ベクトルはLU分解を使用して固有値ごとに求めていこうと考えました。 現状固有値を求めるプログラムは作成できました(そして正しく求められていることも確認しました)。そして行列のLU分解を行うプログラムまで作成できたのですが、LU分解後の行列から固有ベクトルを求める方法がわかりません。 詳しく説明します Ax = λx を (A - Iλ)x = 0 として、この(A - Iλ)をLU分解しました。 すると式は LUx = 0 となり 最終的に Ux = 0 をとく問題になります。 ここで行列Uは上三角行列なので、1次の連立方程式を解くように、行列Uの右下の要素を使って計算を始めていくのですが、自分がなにか勘違いをしているのだと思うのですがこの方法で計算すると固有ベクトルが全て0になってしまいます。 行列U x 0 | 2 3 4 5 | |x1| = |0| | 0 4 2 9 | |x2| = |0| | 0 0 7 5 | |x3| = |0| | 0 0 0 8 | |x4| = |0| このような図式になり、固有ベクトルであるxを求めていくのですが、x4から順にもとめても0にしかならないんです。 下記のサイトを参考に学んでいたんですが、この部分が分からずにいます。 http://hooktail.org/computer/index.php?KL%C5%B8%B3%AB2 どこを勘違いしているんでしょうか? アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有値・固有ベクトルの問題です
こんにちは。 固有値、固有ベクトル(空間)の問題で分からない所があるので、教えていただきたいです。 問題は 次の線形変換T:R[x]2 → R[x]2 に対して固有値と各固有値についての固有空間を求めろ。 (1)T(f(x)) = f(1-x) (2)T(f(x)) = f(2x) +f ’(x) (1)について R[x]2の標準基{1,x,x^2}は線形変換Tでそれぞれ T(1) = 1 T(x) = 1-x T(x^2) = 1-2x-x^2 となるため、表現行列Aは A=[1 1 1; 0 -1 -2; 0 0 -1] (;ごとに行を区切って書いています) これの固有多項式を解くと、λ=-1,1 λ=-1の場合は固有空間を求めることが出来たのですが、 λ=1のとき、[E-A]の行列を簡約化すると [0 1 0; 0 0 1; 0 0 0] となり、ここからどうすればいいのかが分かりません。 (答えはc1+c2(-x+x^2)となります。) また、(2)の方も同様に行うと、 表現行列Aは A=[1 1 0; 0 2 2; 0 0 4] となり、固有値がλ=1,2,4となります。 λ=2,4の場合は自力で出来たのですが、λ=1のときに、(1)でつまずいた行列と全く同じ形になり、こちらもどうすればいいのか分かりません。 (答えはcとなります。) 長くなってしまい申し訳ないです。 どうぞ、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます.