行列の固有値？？

質問

多分、行列の固有値の話だと思うのですが、例えば、
A^2-5A+6E=0という行列式があります。このとき、A^(n+1)-2A^n…IとA^(n+1)-3A^n…IIを計算せよ。と言う問題があります。このとき、僕は今まで、意味も考えずに、条件の行列式の行列Aをkとして、因数分解をし、I…=3^n(A-2E)、II…2^n(A-3E)として、解いていました。けれどなぜ？この解き方を教えてもらった時、友達は固有値とか言っていました。
なぜ、上記のようになるのかを教えてください。

回答No.2

kabaokaba

まず，言葉をしっかりしましょう

>A^2-5A+6E=0という行列式があります。

多分「行列で書かれた式」ということで「行列式」と
いっているのだと思いますが，
「行列式」というのは別の意味です
多分，高校生でしょうから
行列式といえば「ad-bc」というあれのことです．
使い方を間違えるとまるで意味が通じなくなります
この場合は「行列の多項式」とか
「行列の二次式」などというものでしょう

>条件の行列式の行列Aをkとして、因数分解をし、
>I…=3^n(A-2E)、
>II…2^n(A-3E)として、解いていました。
>けれどなぜ？

本当にこうなりますか？
Iの式はA^n(A-2E)ですけど，A^nは行列です．
A^n=3^nEとなるならその通りですけど
そうはならないはずです
＃だって，A^2=5A-6Eですから

f(A)=A^{n+1}-2A^n=(A-2E)(A-3E)Q(A)+xA+yE
とおいて，
f(2E)とf(3E)が0になることからxとyを求めてるのが
正解でしょう．IIも同様です

>この解き方を教えてもらった時、友達は固有値とか
>言っていました。
どこかで聞いてきただけの話だと思いますが
この問題に限っては固有値は関係ありません．
確かにケリー・ハミルトンの定理の形の条件では
ありますが．

行列のn乗を求めるテクニックでこの手のものは
一般には行列の積は可換ではないので
多項式と同じ扱いはできないのですが，
一個の行列Aと単位行列Eだけが関わるときは
AE=EAなので，多項式と同じ扱いができるという
ことがポイントになります．
Aをx，Eを1とみなすわけです
＃難しい言葉では，行列Aが生成する多項式環と
＃一変数多項式環は環として同型なんていう

多項式と同じなので，普通に割り算して
あまりを求めてというよくある計算が可能です．

ちなみに固有値を利用するタイプは
別の正則行列Pを用いて
P^{-1}AP=
a 1
0 b
とか
a 0
0 b
の形に変形してから求めるものです
ここでaとbが固有値と呼ばれるもので，
Pの列ベクトルが固有ベクトルと呼ばれるものです
一度この形に変形してしまえば，n乗の計算は容易です．
＃複素数まで許容すれば必ず
＃このどちらかの形に変形できます．

回答No.1

tatsumi01

質問の意味がよくわかりません。
A^2-5A+6E=0 は行列で、行列式ではありませんね。
行列 A の固有値をλとし、A の固有方程式が λ^2-5λ+6=0 だったとすると、ケイリー・ハミルトンの定理により、行列としての性質 A^2-5A+6E=0 が成立します。
すると A^2=5A-6E ですから、A^(n+1) = A^2・A^(n-1) = (5A-6E)・A^(n-1) を利用して、どんどん次数を下げて行き、最後は A の１次式になります。
お友達はそのことを言っているのでしょうかね。