行列A^2の固有値は、Aの各固有値の2乗ですか？

質問

行列A^2の固有値は、行列Aの各固有値の2乗になりますか？
証明、または、反例をお願い致します。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

固有ベクトルって, なんだろうね.

お礼

なるほど、A^2v=A(Av)=λAv=λ^2v なので、A^2の固有値はAの固有値の二乗になりますね！役に立つヒントをありがとうございます！

回答No.2

metzner

まずは定義を書いてみるとわかると思いますよ。
途中までヒントを出しますので、考えてみられる事をお薦めします。

まず
det(AB)=detAdetBですので
det(x^2 -A^2)=det(x-A)(x+A)=det(x-A)det(x+A)=0
これよりxがAの固有値ならx^2はA^2の固有値となる事はわかりますね。
逆はどうなるかを考えてみれば、証明か反例がわかると思います。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます！
感謝です。問題の途中で、A^2の固有値がAの固有値の二乗に
なることを使う必要があったのですが、わからなくて
困っていました。これで解決です。
ありがとうございます！