対称行列の固有値

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97
で、エルミート行列の固有値は実数となると書いてあったので、まずは実対称行列の固有値について、これが言えるかどうかを調べてみようと証明を試みたのですが、実対称行列の固有値でさえうまく証明できそうにありません。
どなたかお知恵を貸していただけると幸いです。宜しくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5198129.html
の A No.1 が全てでしょう。

あそこから、
エルミート行列のジョルダン標準形はエルミートであることが解る。
エルミートなジョルダン標準形って、実対角行列しかないよね。

お礼

そういえば、エルミート行列のジョルダン標準形は実対角行列しかないですね＾＾；
こちらの質問は、もう一つの質問に統一ということになるので、こちらは閉じますね。

回答No.1

Tacosan

複素ベクトル x, y の「内積」を
(x, y) = x^t conj y
(x^t は x の転置, conj y は y の複素共役)
と定義する. 定義から
(x, y) = conj (y, x), (ax, y) = a(x, y), (x, ay) = conj a (x, y)
であることを示す.

お礼

x,yがn次元ベクトルとして、x,yそれぞれのk番目の要素をx_k,y_kとおくと、
x_k conj y_k=conj ((conj x_k)*y_k)
よって、
(x, y) = conj (y, x)

Σ[k=1:n]a*x_k*(conj y_k)=a*Σ[k=1:n]x_k*(conj y_k)
よって、
(ax, y) = a(x, y)

Σ[k=1:n]x_k*(conj a*y_k)=(conj a)*Σ[k=1:n]x_k*(conj y_k)
よって、
(x, ay) = (conj a)(x, y)

とまあ、示してみはしたのですが、これがどの様に固有値の証明に関係してくるのでしょうか？