比例式からの疑問

質問

Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃの場合ＡＣ＝Ｂ＾２になりますが今原始関数をＡ，Ｃを導関数としてＢを関数とした場合、比例の公式にあうような関数はｅ＾ｘ以外には存在しないのでしょうか。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

y=f(x)
y^2={f(x)}^2
2yy'=2f(x)f'(x)
yy'=f(x)f'(x)=g(x)^2
f(x)=e^xの場合
yy'=(e^x)(e^x)=(e^x)^2=g(x)^2,g(x)=f(x)=e^x

y=f(x)={√(2/3)}x^(3/2)
y'=f'(x)={√(3/2)}x^(1/2)
yy'=x^2,g(x)=x
したがって
f(x)={√(2/3)}x^(3/2)
は公式に合う関数になっています。

お礼

御教示ありがとうございます。これは演繹的に導出できるものですか。自分でじっくり過程を学ばせていただきたいと思います。

回答No.6

info22

余り他力本願にならないで下さい。
＞貴方のご教示で枚挙される関数に何か比例に関係した共通の特長があるのでしょうか
これはあなたの課題です。

いえる事は
《{g(x)}^2が積分可能》なら、yy'={g(x)}^2を満たすy=f(x)が決まると言うことです。
A#2で書いたようにy=e^xも条件を満たす関数に含まれています。

お礼

再三の御教示を重ねて感謝いたします。ＡＣ＝Ｂ＾２という小学校で習った公式から数学に入れないかと思ったので今までのご教示で十分ありがたいことです。

回答No.5

Tacosan

あ～, つまり
f(x) : f'(x) = f'(x) : f''(x) が恒等的になりたつような f(x) ってことね?
[f'(x)]^2 = f(x) f''(x) だな.
f'(x) / f(x) を x で微分すると [f''(x) f(x) - f'(x) f'(x)] / [f(x)]^2 だから, 与えられた条件から
(d/dx) [f'(x) / f(x)] = 0, つまり f'(x) / f(x) = c となります. これは簡単に解けて
f(x) = Ae^(cx).

お礼

勉強させていただきます。ｅ＾ｘという関数はやはり特別な存在なのですね。ありがとうございました。

回答No.4

info22

#2です。
＞これは演繹的に導出できるものですか。
＞自分でじっくり過程を学ばせていただきたいと思います。

すでにA#2で書いた通りです。

＞y^2={f(x)}^2
＞2yy'=2f(x)f'(x)
＞yy'=f(x)f'(x)=g(x)^2
の式から見つけます。
まだ見つかるかも知れません。

A#2では仮にg(x)=xとおくと
(y^2)'=2yy'=2x^2
y^2=(2/3)x^3
ですから
y={√(2/3)}x^(3/2)
と出てきます。
y'={√(3/2)}x^(1/2),yy'=x^2となりますから条件を満たしていますね。

g(x)=x^2とおけば
(y^2)'=2yy'=2x^4
y^2=(2/5)x^5
ですから
y={√(2/5)}x^(5/2)
が出てきます。
y'={√(5/2)}x^(3/2)
yy'=x^4=(x^2)^2
でやはり条件を満たしていますね。

g(x)=sin(x)とおけば
(y^2)'=2yy'=2(sin(x))^2=1-cos(2x)
y^2=x-(1/2)sin(2x) (x≧0)
y=(1/√2)√{2x-sin(2x)}
y'=(1/√2)(1/2){2-2cos(2x)}/√{2x-sin(2x)}
=(1/√2)2{sin(x)}^2/√{2x-sin(2x)}
yy'={sin(x)}^2
となってyは条件を満たしていますね。

以上から分かることは
g(x)に適当な関数を与えて
(y^2)'=2yy'=2(g(x))^2
を満たすy^2を求め、そこからyを求めれば
条件を満たす関数y=f(x)がどんどん見つけることが可能の
ようです。

際限がありませんので後は自分で導出できると思いますので
やってみてください。

補足

ご示唆にしたがって勉強いたしますが、貴方のご教示で枚挙される関数に何か比例に関係した共通の特長があるのでしょうか。もしご本人から更なる御教示がいただければ幸せです。

回答No.3

Tacosan

質問の意味がわからんのだけど....
f'(x) : f(x) = f(x) : f'(x) が恒等的に成り立つような f(x) が知りたい?

補足

ＡのＢに対するはＢのＣに対するが如しということでした。微積分でも関係の類似で何か出てくるのだろうかと思いました。

回答No.1

bad-boys

e^(-x),0,・・・

お礼

御教示ありがとうございます。勉強させていただきます。