tの2次関数で媒介変数表示された平面曲線は何種類？（一般的な疑問）

質問

tの2次関数で媒介変数表示された平面曲線

x=at^2+bt+c
y=dt^2+et+f

は一般にどのような形をしてるのでしょうか?

場合分けをするとしたら何種類あるのでしょうか？

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

x=at^2+bt+c … (1)
y=dt^2+et+f … (2)

とおきます。

t^2 を消去するために、d×(1)-a×(2) を計算し、
これを X とおきます。すなわち、

X = d x - a y = (db - ae) t + (dc-af) … (3)

t を消去するために、e×(1)-b×(2) を計算します。
これを Y とおきます。すなわち、

Y = e x - b y = (ea - bd) t^2 + (ec-bf) … (4)

(3)と(4) で、

X = d x - a y
Y = e x - b y

はちょうど一次変換に形になっています。

直交するx軸とy軸に対して、一般には斜めに交わるX軸とY軸が書けます。

X =(一定) の線は、 y = (d/a) x - X/a で直線になります。
Y =(一定) の線は、 y = (e/b) x - Y/b でやはり直線になります。

方眼紙のます目が、正方形ではなくて、平行四辺形になったものを想定するとわかりやすいと思います。

さて、その斜めになり伸び縮みした方眼紙上に、絵を描くことを考えます。

(3), (4) で t を消去して、（分母に来るものが≠0 として）

Y = [(ea-bd)/(db-ae)^2] [X - (dc-af)]^2 + (ec-bf) … (5)

が得られます。

A = (ea-bd)/(db-ae)^2
P = dc-af
Q = ec-bf

とおくと、(5)式は

Y = A ( X - P )^2 + Q … (6)

と書けます。

つまり、ます目が平行四辺形の方眼紙に二次曲線を書いたものになります。

要するに、普通の二次曲線を、回転させたり、斜めに歪ませたり、伸び縮みさせたものです。
・・・結果１

但し、たまたま A = 0 になるときには、Y = Q すなわち、

　　y = (e/b) x - Q/b … (7)

という直線になります。
・・・結果２

次に、例外的な場合として、分母に来るものがたまたま 0 になる場合を考えます。

(3)式 X = d x - a y = (db - ae) t + (dc-af) で、

db=ae の場合です。

この場合は、X = dc-af = P （一定）

になり、ひとつは直線が書けます。(x,y) で書くと、

y = (d/a) x - P/a … (8)

という直線です。

しかし、このとき、

(4)式 Y = e x - b y = (ea - bd) t^2 + (ec-bf)
も同時に満たされていなければなりません。

これも、

y = (e/b) x - [(ea - bd)/b] t^2 - [(ec-bf)/b] … (9)

という直線になりますが、y切片が t の値によっていろいろにかわります。
ただし、t^2 の関数なので、y切片がすべての値をとるのではなく、ある点より下全部、もしくはある点より上全部の半無限の区間の値をとります。

(8)と(9)の両方を満たすので、要するに、(8)上のある点より下全部の直線、もしくは上全部の直線になります。
・・・結果３

まとめると、係数a～fの値によって、結果１～３の形になります。

多分、およそこれで合ってると思いますが、細かいところ間違ってたらすみません。

一応、少なくとも大筋は合ってると思うので自信ありにしときますね(笑)

回答No.1

Knotopolog

結論から言いますと，「直線」か「二次曲線」になります．与式の
x=at^2+bt+c　・・・・・(1)
y=dt^2+et+f　・・・・・(2)
から t を消去すれば，F(x,y)=0 または，G(x,x^2,y,y^2)=0 が得られます．定数 a,b,c,d,e,f を実数として， a,b,c,d,e,f の間の関係：H(a,b,c,d,e,f)=0 の取り方（H の形）により，「直線」か「二次曲線」になります．例えば，d×(1)-a×(2)を計算すると
dx-ay=(bd-ae)t+cd-af　・・・・・(3)
となるので，(3)が
bd-ae=0　・・・・・(4)
ならば(3)は
dx-ay=cd-af　・・・・・(5)
となるので「直線」の方程式です．（x軸とy軸の直交座標の）その他は(1)を t の二次方程式として解いて(2)式を用いて t を消去すればG(x,x^2,y,y^2)=0 の「二次曲線」の方程式が得られます．計算が複雑で，書き込みに時間が掛かるので，自分で計算してみて下さい．