媒介変数の極値と、曲線の全長の問題について教えてください。

質問

下記の問題の解き方がわかりません。

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x=exp(t)sin(t),y=exp(t)cos(t),(0≦t≦π/2)の表す、xy平面上の曲線Cがある。

(1)xの関数 y=f(x)の増減表を書き、極値を求めなさい。
(2)曲線Cの全長Lを求めなさい。
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(1)は普通に増減表を書くときのように、

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=0

となる、tを求め、それを境に値を代入してdy/dxを調べればいいのでしょうか？

(2)に関してはどうしたらいいのかさっぱりです。

(1)、(2)共に解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> (1)は普通に増減表を書くときのように、
>
> dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=0
>
> となる、tを求め、それを境に値を代入してdy/dxを調べればいいのでしょうか？

それで良いはずです。

> (2)に関してはどうしたらいいのかさっぱりです。

曲線の長さを積分で求める方法は習いませんでしたか？

∫√{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } dt

という式で曲線の長さを計算できます
(今回の場合、積分区間はt = 0からt = π/2)。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(2)についてはその方法を完全に失念していました。

回答No.2

info22

回答者にヒントを貰ったらお礼の補足をして、やった解答を書いて下さい。
その上で質問があれば補足質問して下さい。
(1)おやりの考え方・やり方でOKです。
t=π/4で最大（極大値）になりますね。

(2)どの教科書や参考書でも公式が載っているので調べてみて下さい。
#1さんの式がそれです。
dy/dt,dx/dtを求めて代入しt=0～π/2の積分範囲で積分してみてください。
積分すると求める曲線の長さ
L=(√2){e^(π/2)-1}
が出てきますので、ご自分でやった結果と比較してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
補足のほうに自分でやった結果と質問を書かせていただきます。

補足

dx/dt=exp(t)sin(t)+exp(t)cos(t)=exp(t){sin(t)+cos(t)}
dy/dt=exp(t)cos(t)-exp(t)sin(t)=exp(t){cos(t)-sin(t)}

(1)
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)={cos(t)-sin(t)}/{sin(t)+cos(t)}=0
cos(t)-sin(t)=0
tan(t)=1
∴t=π/4

t<(π/4)のとき,dy/dx>0.t>(π/4)のとき,dy/dx<0.
∴t=π/4のとき,極大値 exp(π/4)/√2

(2)
(dx/dt)＾2=exp(2t){1+2sin(t)cos(t)}
(dy/dt)＾2=exp(2t){1-2sin(t)cos(t)}

L=∫√{2exp(2t)}dt=√2∫exp(t)dt
∴L=√2{exp(π/2)-1}

以上です。
もし間違いがあればご指摘よろしくお願いします。
お二方ともありがとうございました。