曲線に関する問題です。

質問

曲線C：4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0について、C上でyが極値となる点、曲線Cで囲まれた領域の面積、曲線Cをx軸の周りに回転して得られる回転体の表面積、曲線Cの全長の求め方を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の
曲線C：4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0
のグラフを描いたのでA#1の回答を見るときの
参考にしてください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

info22_

[C上でyが極値となる点]
4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0
xで微分
8(x^2+y^2)(2x+2yy')-(2x-2yy')=0
x{8(x^2+y^2)-1)+y{8(x^2+y^2)+1}y'=0
y'=-(x/y){8(x^2+y^2)-1}/{8(x^2+y^2)+1}
極値を撮るのはy'=0の時で
x=0,x^2+y^2=1/8
x=0の時
4y^4+y^2=0
y=0 (極値ではない)
x^2+y^2=1/8の時
y^2=1/8-x^2
4(1/8)^2-(2x^2-1/8)=0
x^2=3/32
x=±√6/8,y=±=√2/8
x=±√6/8の時,yの極大値√2/8、極小値-√2/8

[曲線Cで囲まれた領域の面積]
領域の対称性から第１象限部分の面積を4倍すれば良い。
4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)≦0
x=rcos(t),y=rsin(t)とおくと
4r^4-r^2*cos(2t)≦0
r^2≦(1/4)cos(2t)
第１象限部分
r≦(1/2)√cos(2t)(0<=t<=π/4)
全体の面積S
S=4∫[0,π/4]dt∫[0,(1/2)√cos(2t)]rdr
=4∫[0,π/4]{[(1/2)r^2][0,(1/2)√cos(2t)]}dt
=2∫[0,π/4](1/4)cos(2t)dt
=(1/2)[(1/2)sin(2t)][0,π/4]
=1/4

[曲線Cをx軸の周りに回転して得られる回転体の表面積H]
対称性よりx≧0(0≦θ≦π/4)の部分の表面積を2倍すれば良い。x=rcos(t),y=rsin(t),r=(1/2)√(cos(2t))
y√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)=(1/4)sin(t)
H=2∫[0,π/4]2πy√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
=(2-√2)π/2

[曲線Cの全長L]
対称性より第一象限の部分の長さを求め4倍すれば良い。
√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)=1/(2√cos(2t))
L=4∫[0,π/4]√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
=2∫[0,π/4]1/√(cos(2t))dt
=(√2)K(1/2) =2.622057554292125…
K(m)は第一種の完全楕円積分である.