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曲線に関する問題

軌跡に関する問題です。どなたか回答お願いします。 xy平面上に点(-1,0), 点(1,0)および点P(x,y)がある。距離APと距離BPの積が一定値s(>0)のとき、点Pの描く軌跡を曲線Cとする。 (1)曲線C上でyの取りうる最大値をSの関数として求めよ。 (2)x>0において、s=1の場合の曲線Cで囲まれた領域Dを考える。 領域Dが直線x=√3yによって2つ分割されるとき、2つの領域の面積をそれぞれ求めよ。領域Dをx軸の周りに回転してできる立体の表面積を求めよ。

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A#2の続きです。 (2) s=1の場合 曲線C(点Pの軌跡)の方程式は(B)より  (x^2-1)^2+2(x^2+1)y^2+y^4=1 (x>0) ...(G) x=rcos(t),y=rsin(t)とおいてr^2について解くと  r^2=2cos(2t) (-π/4≦t≦π/4)...(H) (G),(H)の曲線Cのグラフはレムニスケート(連珠系)と呼ばれます。グラフを添付図に示します。 領域D(x>0)を直線x=√3yによって2つ分割した時の領域(小さい方、水色の領域)の面積S1,領域(大きい方、黄色の領域の面積S2,両方合わせた面積をS(=S1+S2)とすると S=2∫[0≦t≦π/4,r^2=2cos(2t)] rdrdt =2∫[0,π/4]dt∫[0,√(2cos(2t))] rdr =2∫[0,π/4]dt{[(1/2)r^2][0,√(2cos(2t))]} =∫[0,π/4] 2cos(2t)dt =[sin(2t)][0,π/4] =1 ...(I) S1=∫[π/6≦t≦π/4,r^2=2cos(2t)] rdrdt =∫[π/6,π/4]dt∫[0,√(2cos(2t))] rdr =∫[π/6,π/4]dt{[(1/2)r^2][0,√(2cos(2t))]} =(1/2)∫[π/6,π/4] 2cos(2t)dt =(1/2)[sin(2t)][π/6,π/4] =(1/2)(1-√3/2) ...(J) =(2-√3)/4 S2=S-S1=1-(2-√3)/4=(2+√3)/4 ...(K) 領域Dをx軸の周りに回転してできる立体の表面積をSoとすると So=2π∫[0,√2] y√(1+(y')^2) dx =2π∫[0,√2] √(y^2+(yy')^2) dx ...(L) (G)の式からyを求めると  y^2=(4x^2+1)^(1/2)-x^2-1 xで微分して  2yy'=4x(4x^2+1)^(-1/2)-2x  yy'=x(2-(4x^2+1)^(1/2))/(4x^2+1)^(1/2) y^2+(yy')^2 =(4x^2+1)^(1/2)-x^2-1 +x^2(2-(4x^2+1)^(1/2))^2/(4x^2+1) =(4x^2+1)^(1/2)-x^2-1 +x^2(4+(4x^2+1)-4(4x^2+1)^(1/2))/(4x^2+1) =((4x^2+1)^(1/2)-1)/(4x^2+1) (L)に代入 So=2π∫[0,√2] √{((4x^2+1)^(1/2)-1)/(4x^2+1)} dx 参考URLのサイトで不定積分すると =[π(1+√(4x^2+1))√{√(4x^2+1)-1}/x][0,√2] =2π(2-√2) ...(M) (2)の答え (J).(K),(M)

参考URL:
http://www.wolframalpha.com/

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質問者からのお礼

図まで添付してくださり、とても助かりました。ありがとうございました。

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>距離APと距離BPの積が一定値s(>0)のとき 点A,点Bが未定義です。 >点(-1,0), 点(1,0)および点P(x,y)がある。 「点A(-1,0), 点B(1,0)および点P(x,y)がある。」 ではないですか? そうだとして (1)について回答します。 >距離APと距離BPの積が一定値s(>0)のとき、 これを式に直せば AP=√{(x+1)^2+y^2},BP=√{(x-1)^2+y^2}より  [√{(x+1)^2+y^2}][√{(x-1)^2+y^2}]=s(>0) となります。 両辺自乗して  {(x+1)^2+y^2}{(x-1)^2+y^2}=s^2 ...(A) 括弧を展開して  (x^2-1)^2+2(x^2+1)y^2+y^4=s^2 ...(B) これが点P(x,y)の軌跡の曲線Cの方程式です。 添付図の黒実線のグラフです。s=0.7,1,1.5,2,3の場合を同じ図上にプロットしてあります。赤丸がyの最大値や極小値を示す点です。 (B)をxで微分して整理すると  4x(x^2+y^2-1)=0 ...(C) yが最大となる点(x,y)の条件  x=0 または x^2+y^2=1 ...(D) (D)のグラフは添付図の水色実線に示す。この曲線(Y軸と中心原点、半径1の円)上に曲線Cのyの最大値や極値の点(赤丸)が 存在します。 (B)をx^2について整理すると  x^4+2(y^2-1)x^2+1-s^2+2y^2+y^4=0  X=x^2(≧0)とおくと  X^2+2(y^2-1)X+1-s^2+2y^2+y^4=0 ...(E) 実数X(≧0)の存在条件(必要条件)から  判別式D/4=(y^2-1)^2-(1-s^2+2y^2+y^4)=s^2-4y^2≧0   ∴-s/2≦y≦s/2 ...(F) y=s/2が最大値となる条件  y=s/2を(C)に代入して整理すると  X^2+2((s^2-4)/4)X+(s^2-4)^2/16=0  (X+(s^2-4)/4)^2=0  X=(4-s^2)/4 0<s≦2 ...(G)の時 X≧0  x=±√X=±√(4-s^2)/2 とxが存在する。 従って,  0<s≦2の時 x=±√(4-s^2)/2で  yは最大値y=s/2をとる。 なお、この時の点P(x,y)は  x^2+y^2=(4-s^2)/4 +s^2/4=1 と(D)の「後半の条件」x^2+y^2=1を満たしている。 s>2の場合はyが最大となる条件は(D)の「前半の条件(x=0)」となる。この場合のyの最大値は、(B)の曲線Cの式でx=0とおいて求められる。    1+2y^2+y^4=s^2  (y^2+1)^2=s^2  y^2+1=s(>0)  y^2=s-1(≧0 → s≧1)  ∴y=√(s-1) この時(E)は  X^2+2(s-2)X=0  X(X-4+2s)=0 s>2,X≧0なので(X-4+2s)>0  ∴X=0 ∴x=0 従ってs>2の場合はx=0でyの最大値y=√(s-1) まとめると 0<s≦2ではy=s/2が最大値であるから、y=√(s-1)は極小値になります。 s≧2ではx=0でy=√(s-1)が最大値になります。 (1)の答え 0<s≦2のときyの最大値=s/2 s≧2のとき yの最大値=√(s-1) 長くなるので(2)は別回答にします。

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  • 回答No.1

こんばんわ。 計算が少々複雑なのと、「場合分け」が必要となるところがポイントでしょうか。 高校数学の範囲でも解ける問題ではあります。 不器用な解き方だとは思いますが、以下概要を。 考える式は以下の陰関数になります。  { (x+1)^2+ y^2 }・{ (x-1)^2+ y^2 }= s^2 まず、この式は x軸にも y軸にも対称になることがわかるので、 x≧ 0、y≧ 0の領域で考えていけばよいことがわかります。 「場合分け」ですが、0< s< 1、1≦ s< 2、2≦ sで分けることになります。 場合分けを導くところですが、 【場合分け その1】 y^2= Yとおくと、もとの式は Yの 2次方程式とみなすことができます。 そこから Yを xと sで表します。 Y= y^2≧ 0でなければならないので、そこから xの取りうる値の範囲(定義域)を考えます。 このとき s= 1を境界とする場合分けが必要となります。 【場合分け その2】 Y= (xと sの式)から dY/dxを求め、最大値をとるときの xの値を考えます。 この過程で s= 2を境界とする場合分けが出てきます。 WolframAlphaとかで一度グラフを描かせてみれば、検討はつくとは思います。 とにかく x^2や y^2があちこち出てくるので、x^2≧ 0や y^2≧ 0となることを条件に用います。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。

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