相加相乗平均の拡張

質問

これは、一般的な話題ですので、興味あるかはぜひ、何分かお付き合い願います。

簡単のために、正の３変数a,b,cについてかきます。

E(x;a,b,c):=((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)

をx乗平均といます。xは実数ですが、x=0のときは、その極限を考えるものとします。
x=-1のときは調和平均、x=0のときは相乗平均、x=1のときは、相加平均となります。

そして、それらの間の関係である不等式を拡張した、

[命題]
a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
E(x;a,b,c)=((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
は実数変数xについて単調増加である

が成り立ちます。
それを示すには、
log E(x;a,b,c)=log ((a^x+b^x+c^x)/3) /x
を考え、xで微分して正であることがいえればいいはずです。
（必要であれば２回微分も考える。）
しかし、その微分の計算が複雑になってうまくいかないのです。
うまく計算できたかたは、その方針だけでも教えてください。

回答No.7

noname#101087 · ベストアンサー

#2 です。前回の[補題]はボケてました。二項のケースだけですがリカバリーのメモだけ。
f(x) = {(a^x+b^x)/2}^(1/x) にて、(a^x+b^x)/2 = h(x) と略記します。

[補題]
f(x) = h(x)^(1/x) は x の単調増大関数である。(x>0)

[略証]
まず、f(x) の微係数。(前回は早くもここでボケてました)
　f'(x) = f(x)*(d/dx)[LN{h(x)}/x] = f(x)*g(x)/(x^2)
　ただし、g(x) = [x*h'(x)/h(x)-LN{h(x)}]

この g(x) をさらに x で微分する。
　g'(x) = {h'(x)/h(x)} + x*[h"(x)h(x)-{h'(x)}^2]/{h(x)}^2 - {h'(x)/h(x)}
　　　　= x*[h"(x)h(x)-{h'(x)}^2]/{h(x)}^2

A=LN(a), B=LN(b) と表記すれば、
　h(x) = (a^x+b^x)/2
　h'(x) = (A*a^x+B*b^x)/2
　h"(x) = {(A^2)*a^x+(B^2)*b^x}/2
だから、
　g'(x) = [x/{h(x)}^2]*(A^2+B^2-2AB)*(ab)^x = [x/{h(x)}^2]*{(A-B)^2}*(ab)^x
となって非負である。

以上から、g(x) は単調増大関数で、g(0)=0、したがって g(x)≧0 。
つまり、f'(x)≧0 (x>0) が成立して、f(x) は x の単調増大関数である。

…てな調子です。

お礼

お返事が2年後になりすみません。記述を元に考えました。

f(x) = {(a^x+b^x+c^x)/3}^(1/x) にて、(a^x+b^x+c^x)/3 = h(x) と略記します。
a:b:c≠1:1:1としておきます。
f(0):=lim(x→0)f(x)と定義すると、ロピタルの定理より、
logf(0)=lim(x→0)(log h(x))/x
=lim(x→0)(a^x*log a+b^x*log b+c^x*log c)/(a^x+b^x+c^x)
=(log abc)/3
となるから、f(0)=(abc)^(1/3)

[補題]
f(x) = h(x)^(1/x) は x の単調増大関数である。(-∞<x<∞)

[略証]
f'(x) = f(x)*(d/dx)[log{h(x)}/x] = f(x)*g(x)/(x^2)
　ただし、g(x) = [x*h'(x)/h(x)-log{h(x)}]
が正であることを言えばよい。
まず、x≠0のとき、f(x)が正であることを言う。

g'(x) = {h'(x)/h(x)} + x*[h"(x)h(x)-{h'(x)}^2]/{h(x)}^2 - {h'(x)/h(x)}
　　　　= x*[h"(x)h(x)-{h'(x)}^2]/{h(x)}^2

A=log(a), B=log(b), C=log(c) と表記すれば、
　h(x) = (a^x+b^x+c^x)/3
　h'(x) = (A*a^x+B*b^x+C*c^x)/3
　h"(x) = {(A^2)*a^x+(B^2)*b^x+(C^2)*c^x}/3
だから、コーシー-シュワルツの不等式より、
　9*g'(x) = [x/{h(x)}^2]*[{(A^2)*a^x+(B^2)*b^x+(C^2)*c^x}(a^x+b^x+c^x) - (A*a^x+B*b^x+C*c^x)^2]
の二つ目の因子は正。
x<0のとき、g'(x)<0
x>0のとき、g'(x)>0
g(0)=0
だから、
x≠0のとき、g(x)が正である。
よって、x≠0のとき、f'(x)は正である。

次に、x=0のとき、f'(0)が正であることを言う。

f'(0)=lim(x→0)f'(x)
=lim(x→0)f(x)*g(x)/(x^2)
=lim(x→0)f(0)*g'(x)/2x
=lim(x→0)(abc)^(1/3)*[x/{h(x)}^2]*[{(A^2)*a^x+(B^2)*b^x+(C^2)*c^x}(a^x+b^x+c^x) - (A*a^x+B*b^x+C*c^x)^2]/18x
=(abc)^(1/3)*[1/18{h(0)}^2]*[3{(A^2)+(B^2)+(C^2)} - (A+B+C)^2]
=(abc)^(1/3)*[3{(A^2)+(B^2)+(C^2)} - (A+B+C)^2]/18
>0
最後の不等式は、コーシー-シュワルツの不等式を使った。

よって、証明できた。

回答No.6

guuman

ケアレスミス
「/9」→「・9」
変換で「・」が「/」になってしまうのが原因

g(x):=(f"(x)・f(x)-(f'(x))^2)・9
に
f(x)=(a^x+b^x+c^x)/3
を使ってg(x)をa,b,c,xで表して補足に書け
また、そのときに発見した不等式の名前を補足に書け
不等式名は有名な歴史的数学者の名前が１つまたは２または3つついている
そして完結した完全な解答を補足に示せ

もし分からなければその旨補足せよ

お礼

2年後のお返事になりすみません。
当時は一度読んだだけでは良くわかりませんでしたが、別の方のアドバイスを元に、完全な証明を書きました。
No.7のお礼を参照。
不等式名は、コーシー-シュワルツの不等式ですね。

回答No.5

guuman

何故最後にもf(x)のまま置いておくのか
正負がはっきりしない因子は最後には本来の式に戻さないと駄目だろ

g(x):=(f"(x)・f(x)-(f'(x))^2)/9
に
f(x)=(a^x+b^x+c^x)/3
を使ってg(x)をa,b,c,xで表して補足に書け
また、そのときに発見した不等式に名前を補足に書け
そして完結した完全な解答を示せ

なおできたと思っても早合点して締め切るな
過去にはそういうめでたい人がいたので
必ず解答を補足に書いて1,2日真偽を世に問え

回答No.4

guuman

以下記述を短くするために
f(x)=(a^x+b^x+c^x)/3
とおく

E(x;a,b,c)=((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)=(f(x))^(1/x)
を微分して
(E(x;a,b,c))'=(f(x))^(1/x)・(x・f'(x)/f(x)-log(f(x)))/x^2
(f(x))^(1/x)/x^2はx≠0で正なので
x・f'(x)/f(x)-log(f(x))
がx≠0で正であることを示せばよい
さてどうするか？
こいつがx=0以外のxで正であることを示す
こいつを微分すると有名な不等式が見えてくるぞ

お礼

ありがとうございます。でも、

x・f'(x)/f(x)-log(f(x))

を微分すると、

[ {f '(x)+xf ''(x)}f(x) -x{f '(x)}^2 ]/f(x)^2 - f'(x)/f(x)

=x[f ''(x)f(x) - {f '(x)}^2 ]/f(x)^2

となりますが、有名な不等式などみえてこないのですが。すみません、もう少しごヒントをください。

回答No.3

noname#101087

#2 ですが、[補題]は出鱈目でした。

やりなおしてはみますが、まずは無視してください。

回答No.2

noname#101087

>[命題] a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
>E(x;a,b,c)=((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
>は実数変数xについて単調増加である

p次ノルムかと思いましたが、違いますね。

[参照ページ]
　http://www.gifu-net.ed.jp/kyoka/sugaku/0430/001kyoukakenH13/gizan.pdf
>相加平均・相乗平均 ....
にいろいろ問題が提示されてます。しかし、
>【問題７】２乗平均と３乗平均はどちらが大きいか。
>この問題は各々６乗して差をとるという生徒にとってよい練習問題である。
というだけで証明してません。

「６乗して差をとる」のも億劫です。補題だけ考えました。

[補題]
d≦1 の場合、下記関数f は x≧1 において x の単調増大関数である。
　f(x) = [(1+d^x)/2]^(1/x)

[略証]
　f'(x) = -Ln{(1+d^x)/2}*f(x)/x^2

回答No.1

guuman

一回目の微分はログしてからの微分でも良いが
どうせ同じ式が出るのだから
記述を完結にするためにそのまま微分するほうが好きだな
強制はしない

そこまでは正解
2回目の微分をまともにしないで部分的にやってみろ

以上のヒントで分かれば補足に書け
分からないのならばその旨を書けば決定的ヒントを授けよう

予断だが
この問題はあなたのオリジナルかい
それともどっかに載っていたのかい
いい問題なので感動した

お礼

この問題は、ネットでみつけました。事実のみを書いていました。
でも、数年前に、不等式という題名の書物で見たことがあります。

log E(x;a,b,c)=log ((a^x+b^x+c^x)/3) /x
を微分したものの分母は、
x^2(a^x+b^x+c^x)
で正となる。分子は、
(a^x loga + b^x logb + c^x logc)x - (a^x+b^x+c^x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
となるが、x=0を代入すると0となるので、その分子の微分が
x>0ならば正、x<0ならば負であることをしめせばよさそう。

分子の微分(を整理すると)
=a^x (loga) {log(3a^x/(a^x+b^x+c^x))}
+ b^x (logb) {log(3b^x/(a^x+b^x+c^x))}
+ c^x (logc) {log(3c^x/(a^x+b^x+c^x))}

ここで挫折。よろしくご教示ください。